matematikk.net

Hvordan kan man ut ifra definisjonen av den naturlige logaritmen utlede en grenseverdi for logaritmen av et tall?

Vet signaturen min er en grenseverdi for den naturlige logaritmen, men jeg har glemt av hvordan jeg kom fram til den.

[tex]\lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h}=\ln{a}[/tex]

Forslag til bevis:

Grensverdi til den naturlige logaritmen vha. [tex]\frac{d}{dx}a^x=a^x\cdot \ln\,a[/tex]

[tex]\frac{d}{dx}a^x=a^x\cdot\ln\,a=\lim_{h\to0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}=a^x\lim_{h\to0}\frac{a^h-1}{h} \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Updownarrow \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, a^x\cdot\ln\,a=a^x\lim_{h\to0}\frac{a^h-1}{h} \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Updownarrow \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \ln\,a=\lim_{h\to0}\frac{a^h-1}{h}[/tex]

Var det det du lurte på bare, eller ville du vite hvordan du kan forandre ln til et tall til log også?

I tilfelle du lurte på det er log(x) = ln(x)/ln10

Bare sett inn definisjonen til ln(x) og du bør få en ny definisjon.

Om dette ikke var del av oppgaven, så beklager jeg .