matematikk.net

Oppgave 32.3
Bevis at volumet av et prisme med høyde lik h og grunnflaten lik G er gitt ved formelen V=Gh.

Det kommer under "bestemt integral og volum".

Man skal finne arealet av en snittflate i et prisme , arealet av snittflaten skriver man da som [tex]\: A(x)\:[/tex]. Når man har funnet dette setter man inn for volumformelen [tex]\: V=\int_^{b}_{a}A(x) dx\:[/tex] og resultat skal bli Gh.Altså V=Gh

Kan noen bevise det slik?

Arealet av snittflata er uavhengig av x og konstant lik G, så integralet blir

[tex]V=\int_a^bA(x)\,dx=\int_a^bG\,dx=G\int_a^b\,dx=G(b-a)=Gh[/tex]

Eller at vi tenker at vi setter en kordinatakse i prisme som strekker seg fra 0 til h der 0 er origo.Summen av alle arealene til snittflatene fra 0 til h vil gi arealet A(x) til prisme.Derfor;

[tex]V=\int_0^hA(x)dx=\int_0^hGdx=G\int_0^hdx=G[x]_ 0^h=Gh-G0=Gh[/tex]

Takk moderator!

Nå er det vel egentlig en selvmotsigelse å bruke integralregning til bevis av volumet til et prisme, ettersom integrasjon forutsetter at arealet av et rektangel er [tex]A=l\cdot b[/tex]. Dermed er dette et syklisk bevis.