Side 1 av 1
Induksjonsbevis
Lagt inn: 28/05-2009 23:49
av FredrikM
Let x be a real number such that [tex]x+x^{-1}[/tex] is an integer. Prove that [tex]x^n+x^{-n}[/tex] is an integer, for all positive integers n.
Usikker på om dette beviset holder:
For n=1 holder påstanden per definisjon. Antar den stemmer videre for alle n opp til [tex]n=k-1[/tex]. Skal vise at dette medfører at det stemmer for [tex]n=k[/tex].
[tex]c_{k-1} = x^{k-1}+x^{-(k-1)}=\frac{x^{2k-2}+1}{x^{k-1}}[/tex]
La oss gange denne med [tex]c_1[/tex] (som vi jo vet er et heltall):
[tex]c_{k-1}c_1 =\frac{x^{2k-2}+1}{x^{k-1}}\cdot \frac{x^2+1}{x}=\frac{x^{2k}+x^{2k-2}+x^2+1}{x^k}=\frac{x^{2k}+1}{x^k}+\frac{x^{2k-2}+x^2}{x^k}[/tex]
Den første delen av summen ovenfor er jo [tex]c_k[/tex]. Nå holder det å forklare at den andre delen må være et heltall. Vi forkorter:
[tex]\frac{x^{2k-2}+x^2}{x^k} = x^{k-2}+x^{-(k-2)}[/tex]
Fra induksjonshypotesen ser vi at dette også må være et heltall, og dermed er også [tex]c_k[/tex] et heltall.
Påstanden er bevist.
- - -
Spørsmålet mitt er så; holder beviset?
Lagt inn: 29/05-2009 02:06
av Gustav
I'd say yes,
men jeg ville forenklet, slik:
Del I
Formelen gjelder opplagt for [tex]n=0[/tex] og [tex]n=1[/tex]
Del II
Anta at formelen gjelder for [tex]n=k-2[/tex] og [tex]n=k-1[/tex]. Slik du har vist gjelder den dermed for [tex]n=k[/tex] (Du behøver ikke anta at den gjelder for alle n opptil [tex]k-1[/tex]). Derfor gjelder formelen for alle positive heltall.
Lagt inn: 29/05-2009 11:28
av FredrikM
Finfint
plutarco skrev:Formelen gjelder opplagt for [tex]n=0[/tex] og [tex]n=1[/tex]
Jeg har inntrykk av at med et "positive integer", så menes et heltall større enn null, altså 1,2,3... Men det er pirk. Lett å vise at formelen også gjelder for n=2.
Lagt inn: 29/05-2009 11:53
av Gustav
FredrikM skrev:Finfint
plutarco skrev:Formelen gjelder opplagt for [tex]n=0[/tex] og [tex]n=1[/tex]
Jeg har inntrykk av at med et "positive integer", så menes et heltall større enn null, altså 1,2,3... Men det er pirk. Lett å vise at formelen også gjelder for n=2.
Jo, det er sant at positve heltall vanligvis er 1,2,3.. etc.
Problemet er at du sier at du antar at formelen gjelder for n=1,2,..,k-1 og bruker senere at den derfor gjelder for k-2. Men hvis k=2 vil jo k-2=0 og du har ikke spesifisert at den gjelder for n=0, så det var noe rart akkurat der i argumentasjonen... For at induksjonen skal gjelde må du derfor vise at den gjelder for 2 påfølgende heltall.
Lagt inn: 30/05-2009 00:10
av FredrikM
For at induksjonen skal gjelde må du derfor vise at den gjelder for 2 påfølgende heltall.
Selvfølgelig. n=1 og n=2 er lette å vise.
n=2:
[tex](x^1+x^{-1})(x^1+x^{-1})=x^2+2+x^{-2}[/tex]
Trekker vi fra 2 her, får vi n=2, og dette er selvfølgelig et naturlig tall, siden for å få dette tallet, ganget vi sammen to naturlige tall (faktisk det samme).
Og dette fullfører beviset.
Lagt inn: 30/05-2009 00:27
av Gustav
Fint!
Du hadde jo det hele under kontroll hele tiden, og det var ikke meningen å pirke, men den siste presiseringen var vel strengt tatt nødvendig.
Lagt inn: 30/05-2009 11:16
av FredrikM
Matematikk er litt pirk, så pirk i vei. (dessuten vil jeg bli perfekt!
)
Lagt inn: 30/05-2009 17:23
av Gustav
FredrikM skrev:Matematikk er litt pirk, så pirk i vei. (dessuten vil jeg bli perfekt!
)
Hehe, fin holdning;D