Ønsket bevis: Størrelser av ikke-algebraiske tall

Mange finner bevis vanskelig. Her er rom for spørsmål vedrørende bevis, og for å dele dine bevis med andre. Vi tenker først og fremst videregående nivå, men det er ingen begrensninger her.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
espen180
Gauss
Gauss
Innlegg: 2578
Registrert: 03/03-2008 15:07
Sted: Trondheim

Ønskes bevist:

[tex]\sqrt{2}^{\sqrt{2}}<\sqrt{3}[/tex]
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

[tex]\frac{3}{2^{\sqrt{2}}}>\frac{3}{2^{1.5}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{8}}>1[/tex] så [tex]2^{\sqrt{2}}<3[/tex].

Rota er strengt økende så det følger at

[tex]\sqrt{2^{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}^{\sqrt{2}}<\sqrt{3}[/tex]

(At [tex]\sqrt{2}<1.5[/tex] følger forresten av f.eks. AM-GM ulikheta. At rota er strengt økende betyr at hvis [tex]f(x)=\sqrt{x}[/tex] og [tex]0\leq x<y[/tex] er [tex]f(x)<f(y)[/tex]. Bevis av dette går ut på ren derivasjon: [tex]f^,(x)=\frac{1}{2}x^{-0.5}>0 \forall x>0[/tex]. Da følger det f.eks. av middelverditeoremet at funksjonen er strengt økende på [tex][0,\infty)[/tex].)
Charlatan
Guru
Guru
Innlegg: 2499
Registrert: 25/02-2007 17:19

Finn det uendelige potenstårnet [tex]\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{...[/tex].
espen180
Gauss
Gauss
Innlegg: 2578
Registrert: 03/03-2008 15:07
Sted: Trondheim

Kan man på samme måte bevise [tex]\sqrt{2}^{\sqrt{2}}>\frac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex]
Karl_Erik
Guru
Guru
Innlegg: 1079
Registrert: 22/10-2006 23:45

Charlatan skrev:Finn det uendelige potenstårnet [tex]\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{...[/tex].
Om jeg forstår notasjonen rett er dette grenseverdien av følgen [tex]a_k[/tex] der [tex]a_{n+1}=sqrt {2} ^{a_n}[/tex]. Av induksjon ser vi lett at følgen er strengt voksende og oppad begrenset: dersom [tex]a_n > a_{n-1}[/tex] er [tex]a_{n+1}=sqrt{2} ^{a_n} > sqrt{2}^{a_{n-1}} = a_n[/tex], der vi brukte at [tex]f(x)=sqrt{2}^x[/tex] og induksjonshypotesen. Så ser vi at dersom [tex]a_n<2[/tex] er [tex]a_{n+1}=sqrt{2}^{a_n}<sqrt{2}^2=2[/tex] der vi igjen brukte monotiniegenskapene til nevnte funksjon og induksjonshypotesen. Altså er [tex]a_n[/tex] monotont voksende og begrenset, og derfor er den konvergent. For å finne grenseverdien [tex]A[/tex] lar vi [tex]n[/tex] gå mot uendelig i rekursjonen [tex]a_{n+1}=sqrt{2}^{a_n}[/tex] og får likningen [tex]A=sqrt{2}^A[/tex], som kun har løsningene [tex]2[/tex] og [tex]4[/tex]. Siden [tex]a_n[/tex] aldri er større enn [tex]2[/tex] er det umulig for den å nærme seg [tex]4[/tex], så det uendelige potenstårnet blir lik 2.
edahl
Cantor
Cantor
Innlegg: 142
Registrert: 23/12-2008 19:32

Hva vil det si at det ikke er algebraisk?
(jeg trodde det var algebraisk fordi det kunne settes opp som eksponenter, summer og produkter)
FredrikM
Poincare
Poincare
Innlegg: 1367
Registrert: 28/08-2007 20:39
Sted: Oslo
Kontakt:

Et algebraisk tall er - om jeg husker riktig - et tall som er en løsning av en eller annen polynomlikning med heltallskoeffisienter.
Cube - mathematical prethoughts | @MatematikkFakta
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Markonan
Euclid
Euclid
Innlegg: 2136
Registrert: 24/11-2006 19:26
Sted: Oslo

An ant on the move does more than a dozing ox.
Lao Tzu
Svar