Generell skjæringssetning

[edahl]

Hei! Jeg titter i en pensumboka for MAT1300 for å forberede meg til vårsemesteret, og lurer på om dette holder vann.

Vi skal vise at for en kontinuerlig funksjon [tex]f:[a,b]\to\mathbf R[/tex] finnes en [tex]c\in[a,b][/tex] slik at [tex]f(c)=t[/tex] for alle [tex]f(a)\geq t \geq f(b).[/tex] Observer først at det ved definisjon finnes en [tex]c\in[a,b][/tex] slik at [tex]a\leq c \leq b.[/tex] Vi antar også at det finnes en [tex]t \in\mathbf{R}[/tex] slik at [tex]f(a)\geq t \geq f(b).[/tex] Legger vi dette sammen får vi at
[tex]a+f(b)\leq c+t \leq b+f(a).[/tex]
NB; her jeg lurer på om det begynner å bli dodgy, fordi jeg gjør en substitusjon av a og b i f som jeg ikke er sikker/tror er litt dodgy.:
Vi konstruerer to monotone følger [tex]a_n<c,\quad b_n > c[/tex] for alle [tex]n,[/tex] og får at
[tex]a_n+f(b_n)\leq c+t \leq b_n+f(a_n).[/tex]
Siden vi har at [tex]a_n, b_n \to c[/tex] når [tex]n\to\infty,[/tex] og [tex]f(a_n),f(b_n)\to f(c)[/tex] når [tex]n\to\infty[/tex] får vi at
[tex]c+f(c)\leq c+t \leq c+f(c).[/tex] Vi trekker ifra [tex]c[/tex] og får at [tex]f(c)\leq t \leq f(c).[/tex] Ved skviselemmaet må vi ha at [tex]f(c)=t,[/tex] og setningen er bevist.

Pfh. takk!

[Gustav]

Det eneste du trenger å bruke for å bevise middelverditeoremet er den formelle definisjonen (epsilon-delta) av kontinuitet og eksistens av supremum for oppad begrensede delmengder av R.

Det ser ut til at du har trukket inn monotone følger og noen påstander som jeg ikke tror er så veldig bra og som ihvertfall ikke er nødvendige. På den annen side klarer jeg ikke helt å peke på nøyaktig hva som er feil, men jeg mener at det er noe som skurrer her, kanskje dette med å erstattee a og b med følgen a_n og b_n i ulikheten...

Mat1300 er for øvrig, sammen med mat2200, et at de vanskeligste bacheloremnene i matte på UiO, men også de mest givende.

[edahl]

Det eneste du trenger å bruke for å bevise middelverditeoremet er den formelle definisjonen (epsilon-delta) av kontinuitet og eksistens av supremum for oppad begrensede delmengder av R.

Det ser ut til at du har trukket inn monotone følger og noen påstander som jeg ikke tror er så veldig bra og som ihvertfall ikke er nødvendige. På den annen side klarer jeg ikke helt å peke på nøyaktig hva som er feil, men jeg mener at det er noe som skurrer her, kanskje dette med å erstattee a og b med følgen a_n og b_n i ulikheten...

Mat1300 er for øvrig, sammen med mat2200, et at de vanskeligste bacheloremnene i matte på UiO, men også de mest givende.

Ja, det er kanskje spesielt den erstattingen jeg tenker på. Og du har jo selvfølgelig et poeng i at det er fint å bruke så lite teori som mulig: "Løvejakt" ved biseksjon av intervallet oppnår jo akkurat det samme uten teori om monotone følger. Hele beviset føles litt på stylter uten at jeg helt klarer å si at noe er direkte galt. Uansett et godt poeng som jeg bør ta med meg at det er lurt å bruke det 'teoretiske minimum' om mulig.

Jepp, det jeg har fått høre også. Står faktisk mellom MAT1300 og MAT2200 til våren (i tillegg til 20 sp i andre MIT-MAT-fag). Kanskje du har noen tips angående det? Gleder meg veldig til å få litt skikkelig algebra, men har for meg at analyse er veldig allmendannende. Virker uansett hva det blir som en skikkelig kickstart på matematikkarriæren min. Får sannsynligvis leseplass med flinke folk så kommer til å snakke en del matte som muligens vil gjøre det litt lettere. Uansett bra for disiplinen å gjøre det litt vanskeligere for seg selv enn en er vant med. Blir kanskje litt heavy å ta MAT1300 og MAT2200 samtidig? (sammen med MAT1110 da antar jeg).

[FredrikM]

Skal selv ta både MAT1300 og MAT2200 til våren. Har allerede kjøpt boken til MAT2200 - og faget virker ganske "dypt" - og veldig annerledes all tidligere matematikk.

Analyse 1 (MAT1300) virker som en tyngre versjon av MAT1100, og det høres koselig ut :)

[edahl]

Skal selv ta både MAT1300 og MAT2200 til våren. Har allerede kjøpt boken til MAT2200 - og faget virker ganske "dypt" - og veldig annerledes all tidligere matematikk.

Analyse 1 (MAT1300) virker som en tyngre versjon av MAT1100, og det høres koselig ut

Fett. Jeg har hatt MAT2200-boka en stund og koser meg med den fra tid til annen. Abstrakt algebra virker for meg som at er noe en kan ha det skikkelig moro med selv uten så veldig dyp innsikt. Snublet for eksempel over en tilfeldig matrisegruppe i det jeg for moroskyld skulle definere en n-dimensjonal vaskeliste. Spurte selvfølgelig en kamerat, og jeg hadde snublet over noe nermest uendelig mye teori i ryggen som folk har studert lenge og fortsatt studerer. Tror det rett og slett var en temmelig triviell undergruppe av GL(n) av inverterbare matriser elns. Men fortsatt gøy

MAT1300-boken fikk jeg meg på torsdag, og den virker veldig fin, dog naturligvis også tung. Har lett for å skumme over regneargumenter når jeg ikke helt forstår hvor viktige de egentlig er . Kommer sikkert til å melde meg opp i begge fagene og se hvor det bærer. Har lyst på litt ekte matte. Vi kunne jo muligens fått til en kollokviegreie hvis det hadde vært interessant. Vil nok være vanskeligere for meg enn for deg. Jeg driver jo med førsteårsfaga for realfag nå.

[FredrikM]

n-dimensjonal vaskeliste.

:O

MAT1300-boken fikk jeg meg på torsdag, og den virker veldig fin, dog naturligvis også tung.

Nå fikk jeg også lyst til å kjøpe den. Har vegret meg litt mot å kjøpe bøker til senere kurs fordi pensumbøkene endres så ofte. (dog bøkene i disse to fagene har holdt seg ganske konstant ganske lenge)

Har lett for å skumme over regneargumenter når jeg ikke helt forstår hvor viktige de egentlig er

Bedre å skumlese dem enn å ikke lese dem. Så kan ting gro i bakhodet.

Har lyst på litt ekte matte.

Hehe - sant! INF1100 og INF1010 er ikke akkurat matte, selv om jeg storkoste meg gjennom INF1100. (eller STK1100 som jeg tok i vår - kjedelig fag)

Vi kunne jo muligens fått til en kollokviegreie hvis det hadde vært interessant. Vil nok være vanskeligere for meg enn for deg. Jeg driver jo med førsteårsfaga for realfag nå.

Høres interessant ut. Ser ikke helt hvorfor det vil være vanskeligere for deg. Du har middelverdisetningen, epsilon-delta, og alt slikt fra MAT1100 friskt i minne.

[Gustav]

Det eneste du trenger å bruke for å bevise middelverditeoremet er den formelle definisjonen (epsilon-delta) av kontinuitet og eksistens av supremum for oppad begrensede delmengder av R.

Det ser ut til at du har trukket inn monotone følger og noen påstander som jeg ikke tror er så veldig bra og som ihvertfall ikke er nødvendige. På den annen side klarer jeg ikke helt å peke på nøyaktig hva som er feil, men jeg mener at det er noe som skurrer her, kanskje dette med å erstattee a og b med følgen a_n og b_n i ulikheten...

Mat1300 er for øvrig, sammen med mat2200, et at de vanskeligste bacheloremnene i matte på UiO, men også de mest givende.

Ja, det er kanskje spesielt den erstattingen jeg tenker på. Og du har jo selvfølgelig et poeng i at det er fint å bruke så lite teori som mulig: "Løvejakt" ved biseksjon av intervallet oppnår jo akkurat det samme uten teori om monotone følger. Hele beviset føles litt på stylter uten at jeg helt klarer å si at noe er direkte galt. Uansett et godt poeng som jeg bør ta med meg at det er lurt å bruke det 'teoretiske minimum' om mulig.

Jepp, det jeg har fått høre også. Står faktisk mellom MAT1300 og MAT2200 til våren (i tillegg til 20 sp i andre MIT-MAT-fag). Kanskje du har noen tips angående det? Gleder meg veldig til å få litt skikkelig algebra, men har for meg at analyse er veldig allmendannende. Virker uansett hva det blir som en skikkelig kickstart på matematikkarriæren min. Får sannsynligvis leseplass med flinke folk så kommer til å snakke en del matte som muligens vil gjøre det litt lettere. Uansett bra for disiplinen å gjøre det litt vanskeligere for seg selv enn en er vant med. Blir kanskje litt heavy å ta MAT1300 og MAT2200 samtidig? (sammen med MAT1110 da antar jeg).

Tips for mat1300 er å gå gjennom grundig noen få vanskelige bevis hver uke.

Når det gjelder mat2200 kan det virke lett til å begynne med, men mot slutten tar det litt av med Galois grupper. Så tipset er å ligge i forkant av forelesningene i sluttkapitlene. Det kan muligens være greit å ta mat4000 samtidig som mat2200, da får man med seg endel tallteori også.

[edahl]

Tips for mat1300 er å gå gjennom grundig noen få vanskelige bevis hver uke.

Når det gjelder mat2200 kan det virke lett til å begynne med, men mot slutten tar det litt av med Galois grupper. Så tipset er å ligge i forkant av forelesningene i sluttkapitlene. Det kan muligens være greit å ta mat4000 samtidig som mat2200, da får man med seg endel tallteori også.

Takk-takk! Jeg skal gnage litt på dette og se litt an hva som er realistisk.

FredrikM: Jeg forsto det som at du skulle på KoMiN. Kanskje vi treffer hverandre, så kan vi snakkes der.

Nå ble dette litt off-topic da men. Det kunne vel vært verre.

[magneam]

Jeg skal også ha MAT2200 til våren, samt MAT4000
Har hørt mye bra om førstnevnte og gleder meg til å ta fatt på matta igjen !