matematikk.net

Temmelig sikker, men skader aldri å få bekreftet intuisjonen.

Altså:

A er nxm-matrise med lineært uavhengige søyler. Vis at [tex]A^TA[/tex] er invertibel.

Bevis:

Siden søylene i A er lineært uavhengige må m < n (m kan godt være lik n, men da er problemet trivielt). Vi begynner med ligningen [tex]A^TAx=c[/tex]. ([tex]c \in R^m[/tex]). Siden søylene til A er lineært uavhengige, utspenner de [tex]R^n[/tex]. Ligningen [tex]y=Ax[/tex] har derfor en (eller mange) løsninger for enhver [tex]y \in R^n[/tex]. Siden dim(col(A))=n, er også dim(col(A^T))=n. Siden m < n utspenner søylene til [tex]A^T[/tex] [tex]R^m[/tex] (og mer til!) har ligningen [tex]A^Ty=c[/tex] derfor en løsning for alle c, og dette er det samme som at [tex]A^TA[/tex] er invertibel. QED.

- --

Ikke så veldig pent og vakkert skrevet. Men kort og greit: holder dette mål? (føler beviset ble veldig rotete også! Men!)

Dersom m<n så kan vel ikke [tex]\text{dim(col}(A^{T}))=n[/tex], ettersom [tex]A^{T}[/tex] er en mxn matrise. Maksimalt kan dimensjonen til transposjonen være m, men det følger ikke direkte.

Hint:
Vis at [tex]Ax=0 \Leftrightarrow A^{T}Ax=0[/tex].
Når du viser venstreimplikasjonen, bruk at [tex]x^{T}A^{T}Ax=0[/tex].
Hva kan du nå si om [tex]\text{dim(nul}(A))[/tex] og [tex]\text{dim(nul}(A^{T}A))[/tex], og dermed kolonnerommene?

Siterer signaturen min:

Med forbehold om tullete feil.

Charlatan skrev:Dersom m<n så kan vel ikke [tex]\text{dim(col}(A^{T}))=n[/tex], ettersom [tex]A^{T}[/tex] er en mxn matrise. Maksimalt kan dimensjonen til transposjonen være m, men det følger ikke direkte.

Dette er jo helt selvfølgelig - rart jeg ikke så det i gårkveld. Men jeg tenkte på en påstand som sa at dimensjonen til kolonnerommet og radrommet er den samme. D

[tex]\text{dim(nul}(A))[/tex] og [tex]\text{dim(nul}(A^{T}A))[/tex], og dermed kolonnerommene?

Både dim(nul(A)) og [tex]\text{dim(nul}(A^{T}A))[/tex] blir null? Og det medfører at kolonnerommene blir n, og dermed har vi n lin. uavhengige søyler, og matrisen er invertibel. (?)

FredrikM skrev:Både dim(nul(A)) og [tex]\text{dim(nul}(A^{T}A))[/tex] blir null? Og det medfører at kolonnerommene blir n, og dermed har vi n lin. uavhengige søyler, og matrisen er invertibel. (?)

Ja, det stemmer. Dersom en nxn matrise har n lineært uavhengige kolonner er den invertibel. Det følger av at summen av dimensjonen til nullrommet og kolonnerommet er lik n.

Fint. Da er alt på plass og jeg kan forsøke å glemme mitt flaue stygge bevis ovenfor.

Altså:

[tex]x^{T}A^{T}Ax=(Ax)^TAx=(Ax)\cdot(Ax)=0[/tex]

Og dette medfører at [tex]Ax=0[/tex].