Induksjonsbevis: Delighet med 5

[Nebuchadnezzar]

Bevis eller motbevis påstanden

[tex]n^5 + 4n[/tex] er dellig med 5 for alle n untatt 0

Sitter helt fast...

[Markonan]

Dette skal gjelde for alle naturlige tall større enn null.
Sjekker for n=1.

[tex]1^5 + 4(1) = 5[/tex]
Dette er opplagt delelig med 5. Derfor antar vi det gjelder for
[tex]n^5 + 4n[/tex].

Se nå på;
[tex](n+1)^5 + 4(n+1)[/tex]

Lek litt rundt med denne og husk at du kan bruke antagelsen over.

[Nebuchadnezzar]

[tex](n+1)^5+4(n+1) \:=\: 3125n^5+3125n^4+1250n^3+250n^2+45n+5[/tex]

Som åpenbart også er delig med 5. Men dette holder vell ikke ?

[Markonan]

Hmm, ser ikke hvordan du kom frem til det der.

Du kunne sjekket Pascal's trekant på rad 5, eller regnet det ut.
[tex](n+1)^2 = (n^2 + 2n + 1)[/tex]

[tex](n+1)^4 = (n^2 + 2n + 1)(n^2 + 2n + 1) = n^4 + 4n^3 + 6n^2 + 4n + 1[/tex]

[tex](n+1)^5 = n^5 + 5n^4 + 10n^3 + 10n^2 + 5n + 1[/tex]

[Nebuchadnezzar]

Ørliten skrivefeil, jeg sjekket vist n+5 og ikke n+1...

[tex](n+1)^5 +4(n+1) \:=\: (n^5 +5n^4 + 10n^3 +10n^2 +5n +1)+(4n+4) [/tex]

[tex](n+1)^5 +4(n+1) \: = \: n^5 +5n^4 + 10n^3 +10n^2 +9n + 5[/tex]

Her ser vi at [tex]n+1[/tex] ikke er delig med [tex]5[/tex]...

[Markonan]

Nå glemte du induksjonshypotesen. Man antar i første steg at n^5 + 4n er delelig på 5, og det må du bruke i det andre steget.

[tex](n+1)^5 + 4(n+1) = n^5 + 5n^4 + 10n^3 + 10n^2 + 5n + 1 + 4n + 4[/tex]

Samler leddene:
[tex](n^5 + 4n) + 5n^4 + 10n^3 + 10n^2 + 5n + 5[/tex]

Ser du hva du kan gjøre da?

[Nebuchadnezzar]

Åpenbart er jeg veldig trøtt, og veldig grønn på induksjon, men kan det gjøres slik ?


[tex] \left( {{n^5} + 4n} \right) + 5{n^4} + 10{n^3} + 10{n^2} + 5n + 5[/tex]

[tex] \left( {{n^5} + 4n} \right) + 5\left( {{n^4} + 2{n^3} + 2{n^2} + n + 1} \right) [/tex]

[tex] \frac{{\left( {{n^5} + 4n} \right) + 5\left( {{n^4} + 2{n^3} + 2{n^2} + n + 1} \right)}}{5} [/tex]

[tex] \frac{{\left( {{n^5} + 4n} \right)}}{5} + \frac{{5\left( {{n^4} + 2{n^3} + 2{n^2} + n + 1} \right)}}{5} [/tex]

[tex] \frac{{\left( {{n^5} + 4n} \right)}}{5} + \left( {{n^4} + 2{n^3} + 2{n^2} + n + 1} \right) [/tex]

Og vi har allerede antatt at n^5 +4n er delig med 5...

Føles som om det er et eller annet som skurrer.

[Realist1]

Åpenbart er jeg veldig trøtt, og veldig grønn på induksjon, men kan det gjøres slik ?


[tex] \left( {{n^5} + 4n} \right) + 5{n^4} + 10{n^3} + 10{n^2} + 5n + 5[/tex]

[tex] \left( {{n^5} + 4n} \right) + 5\left( {{n^4} + 5{n^3} + 5{n^2} + n + 1} \right) [/tex]

Nå gidder jeg ikke blande meg i beviset, men [tex]5 \cdot 5 \neq 10[/tex]

[Karl_Erik]

Åpenbart er jeg veldig trøtt, og veldig grønn på induksjon, men kan det gjøres slik ?


[tex] \left( {{n^5} + 4n} \right) + 5{n^4} + 10{n^3} + 10{n^2} + 5n + 5[/tex]

[tex] \left( {{n^5} + 4n} \right) + 5\left( {{n^4} + 5{n^3} + 5{n^2} + n + 1} \right) [/tex]

[tex] \frac{{\left( {{n^5} + 4n} \right) + 5\left( {{n^4} + 5{n^3} + 5{n^2} + n + 1} \right)}}{5} [/tex]

[tex] \frac{{\left( {{n^5} + 4n} \right)}}{5} + \frac{{5\left( {{n^4} + 5{n^3} + 5{n^2} + n + 1} \right)}}{5} [/tex]

[tex] \frac{{\left( {{n^5} + 4n} \right)}}{5} + \left( {{n^4} + 5{n^3} + 5{n^2} + n + 1} \right) [/tex]

Og vi har allerede antatt at n^5 +4n er delig med 5...

Føles som om det er et eller annet som skurrer.

Du er mer eller mindre i mål.
[tex](n+1)^5 +4(n+1)= \left( {{n^5} + 4n} \right) + 5{n^4} + 10{n^3} + 10{n^2} + 5n + 5[/tex]
[tex]=[/tex]

[tex] \left( {{n^5} + 4n} \right) + 5\left( {{n^4} + 5{n^3} + 5{n^2} + n + 1} \right) [/tex]
Her ser vi at [tex]5\left( {{n^4} + 5{n^3} + 5{n^2} + n + 1} \right)[/tex] opplagt er delelig med 5. Av induksjonshypotesen er også [tex]n^5+4n[/tex] delelig med fem. Altså er [tex](n+1) ^5+4(n+1)[/tex] summen av to tall som begge er delelige med fem, og derfor selv delelig med fem.

[Markonan]

Ser bra ut det!

Kunne kanskje forkorte svaret ved å påpeke at n^5 + 4n er delelig med 5 fra induksjonshypotesen, og faktorisere ut 5 fra resten av uttrykket som viser at det også er delelig med 5 og konkludere med at n^5 + 4n er delelig for alle naturlige n>0.

Edit
Woah. Ninjaer ute og skriver innlegg i nattemørket.

[espen180]

Hypotesen gjelder forresten også for n=0.

Null er delelig med alle tall. (Untatt seg selv)