Mange finner bevis vanskelig. Her er rom for spørsmål vedrørende bevis, og for å dele dine bevis med andre. Vi tenker først og fremst videregående nivå, men det er ingen begrensninger her.
Teorem
Anta [tex]\mathcal{F}[/tex] og [tex]\mathcal{G}[/tex] er ikke-tomme familier av mengder.
Hvis [tex]\mathcal{F}\subseteq\mathcal{G}[/tex] så er [tex]\cap\mathcal{G}\subseteq\cap\mathcal{F}[/tex].
Har et bevisforslag klart, men er ikke helt sikker på om det er riktig.
Hadde vært fint å se noen andre sitt forsøk.
Sist redigert av Markonan den 13/01-2010 18:45, redigert 1 gang totalt.
An ant on the move does more than a dozing ox.
Lao Tzu
Bevis:
Antar [tex]x[/tex] er vilkårlig og [tex]x\in\cap\mathcal{G}[/tex]. Dette betyr at [tex]\forall A\in\mathcal{G}[/tex] så er [tex]x\in A[/tex]. Siden [tex]\mathcal{F}\subseteq\mathcal{G}[/tex], er alle [tex]A\in\mathcal{F}[/tex] også inkludert i [tex]\mathcal{G}[/tex] og vi har da [tex]x\in A\; \forall A\in\mathcal{F}[/tex]. Dette betyr derfor at [tex]x\in\cap\mathcal{F}[/tex]. Siden [tex]x[/tex] var vilkårlig vet vi at [tex]\forall x(x\in\cap\mathcal{G}\rightarrow x\in\cap\mathcal{F})[/tex], eller med andre ord [tex]\cap\mathcal{G}\subseteq\cap\mathcal{F}[/tex]. Q.E.D.
Ble for utålmodig.
Dette er presist nok?
An ant on the move does more than a dozing ox.
Lao Tzu
Hadde vært schpaa om noen kunne sjekke dette beviset for meg også.
Er også interessert i å se alternative bevis.
Teorem
Hvis [tex]\mathcal{F}[/tex] og [tex]\mathcal{G}[/tex] er ikke-tomme familier av mengder og hvis alle elementene i [tex]\mathcal{F}[/tex] er disjunkte fra et element i [tex]\mathcal{G}[/tex], så er [tex]\cup\mathcal{F}[/tex] og [tex]\cap\mathcal{G}[/tex] disjunkte.
Bevis:
[tex]g_0\in\mathcal{G}[/tex] er en mengde slik at for alle [tex]f\in\mathcal{F}[/tex] så er [tex]g_0\cap f = \emptyset[/tex]. Videre har vi at for alle [tex]f\in\mathcal{F}[/tex] så er [tex]f\subseteq\cup\mathcal{F}[/tex], mens [tex]\cap\mathcal{G}\subseteq g_0[/tex]. Siden [tex](\cup\mathcal{F})\cap g_0 = \emptyset[/tex] følger det at [tex](\cup\mathcal{F})\cap(\cap\mathcal{G}) = \emptyset[/tex]. Q.E.D
An ant on the move does more than a dozing ox.
Lao Tzu
Vet ikke helt om jeg forstår hva første teorem sier. Når jeg prøver å oversette det til "norsk", synes jeg det høres kontraintuitivt ut.
(min oversettelse er omtrent slik: om du har en familie av mengder F og G, og alle elementene i F også er medlemmer i G, så er snittet av alle elementene i G en delmengde av snittet av elementer i F. Men dette lyder rart. Hva har jeg tenkt feil?)
FredrikM skrev:Vet ikke helt om jeg forstår hva første teorem sier. Når jeg prøver å oversette det til "norsk", synes jeg det høres kontraintuitivt ut.
(min oversettelse er omtrent slik: om du har en familie av mengder F og G, og alle elementene i F også er medlemmer i G, så er snittet av alle elementene i G en delmengde av snittet av elementer i F. Men dette lyder rart. Hva har jeg tenkt feil?)
La snittet av alle medlemmer i F hete U.
Da er U snittet med de resterende medlemmer i G som ikke er med i F, åpenbart en delmengde av U; når du snitter mengder med U vil du aldri få noen større mengde.
