matematikk.net

Teorem
Anta [tex]\mathcal{F}[/tex] og [tex]\mathcal{G}[/tex] er ikke-tomme familier av mengder.
Hvis [tex]\mathcal{F}\subseteq\mathcal{G}[/tex] så er [tex]\cap\mathcal{G}\subseteq\cap\mathcal{F}[/tex].

Har et bevisforslag klart, men er ikke helt sikker på om det er riktig.
Hadde vært fint å se noen andre sitt forsøk.

Bevis:
Antar [tex]x[/tex] er vilkårlig og [tex]x\in\cap\mathcal{G}[/tex]. Dette betyr at [tex]\forall A\in\mathcal{G}[/tex] så er [tex]x\in A[/tex]. Siden [tex]\mathcal{F}\subseteq\mathcal{G}[/tex], er alle [tex]A\in\mathcal{F}[/tex] også inkludert i [tex]\mathcal{G}[/tex] og vi har da [tex]x\in A\; \forall A\in\mathcal{F}[/tex]. Dette betyr derfor at [tex]x\in\cap\mathcal{F}[/tex]. Siden [tex]x[/tex] var vilkårlig vet vi at [tex]\forall x(x\in\cap\mathcal{G}\rightarrow x\in\cap\mathcal{F})[/tex], eller med andre ord [tex]\cap\mathcal{G}\subseteq\cap\mathcal{F}[/tex]. Q.E.D.

Ble for utålmodig.
Dette er presist nok?

Hadde vært schpaa om noen kunne sjekke dette beviset for meg også.
Er også interessert i å se alternative bevis.

Teorem
Hvis [tex]\mathcal{F}[/tex] og [tex]\mathcal{G}[/tex] er ikke-tomme familier av mengder og hvis alle elementene i [tex]\mathcal{F}[/tex] er disjunkte fra et element i [tex]\mathcal{G}[/tex], så er [tex]\cup\mathcal{F}[/tex] og [tex]\cap\mathcal{G}[/tex] disjunkte.

Bevis:
[tex]g_0\in\mathcal{G}[/tex] er en mengde slik at for alle [tex]f\in\mathcal{F}[/tex] så er [tex]g_0\cap f = \emptyset[/tex]. Videre har vi at for alle [tex]f\in\mathcal{F}[/tex] så er [tex]f\subseteq\cup\mathcal{F}[/tex], mens [tex]\cap\mathcal{G}\subseteq g_0[/tex]. Siden [tex](\cup\mathcal{F})\cap g_0 = \emptyset[/tex] følger det at [tex](\cup\mathcal{F})\cap(\cap\mathcal{G}) = \emptyset[/tex]. Q.E.D

Dritschpaaaa!

Første teorem: ja, du beviser det, men synes du sier det noe knotete. Du bør endre litt på notasjonen, men ellers greit.

Teorem 2 ser bra ut.

Mad schpaa! Takk for tilbakemelding.

Vet ikke helt om jeg forstår hva første teorem sier. Når jeg prøver å oversette det til "norsk", synes jeg det høres kontraintuitivt ut.

(min oversettelse er omtrent slik: om du har en familie av mengder F og G, og alle elementene i F også er medlemmer i G, så er snittet av alle elementene i G en delmengde av snittet av elementer i F. Men dette lyder rart. Hva har jeg tenkt feil?)

FredrikM skrev:Vet ikke helt om jeg forstår hva første teorem sier. Når jeg prøver å oversette det til "norsk", synes jeg det høres kontraintuitivt ut.

(min oversettelse er omtrent slik: om du har en familie av mengder F og G, og alle elementene i F også er medlemmer i G, så er snittet av alle elementene i G en delmengde av snittet av elementer i F. Men dette lyder rart. Hva har jeg tenkt feil?)

La snittet av alle medlemmer i F hete U.

Da er U snittet med de resterende medlemmer i G som ikke er med i F, åpenbart en delmengde av U; når du snitter mengder med U vil du aldri få noen større mengde.

Ble veldig forvirrende å lese forklaringene. Viser med et eksempel.

[tex]\mathcal{F} = \{\{1,2\},\;\{2,3\}\;\}[/tex]
[tex]\mathcal{G} = \{\{1,2\},\;\{2,3\},\; \{4,5\}\,\}[/tex]

Da er alle mengdene i F også i G, så [tex]\mathcal{F}\subseteq\mathcal{G}[/tex].

[tex]\cap\mathcal{F} = \{1,2\}\cap\{2,3\} = \{2\}[/tex]
[tex]\cap\mathcal{G} = \{1,2\}\cap\{2,3\}\cap\{5,6\} = \emptyset[/tex]

Og da er [tex]\cap\mathcal{G}\subseteq\cap\mathcal{F}[/tex].

Ah. Takker for godt eksempel. Sa en hel del. Noe mengdelære kan virke litt kontraintuitivt med en gang man ser det.

Stusset også litt ved resultatet da jeg først så det, men etter litt ettertenking ble det logisk at snittet av flere mengder blir mindre.