Falskt bevis for kjerneregelen

Mange finner bevis vanskelig. Her er rom for spørsmål vedrørende bevis, og for å dele dine bevis med andre. Vi tenker først og fremst videregående nivå, men det er ingen begrensninger her.

Falskt bevis for kjerneregelen

Innlegg Markonan » 03/02-2010 23:20

Dette dukker opp i flere kalkulusbøker (hevdes det i hvert fall), men det er ikke et korrekt bevis. Noen her som kan se hvorfor?

Ser det ikke selv, men skal gå gjennom det litt mer grundig i morgen.
Har ikke noe fasitsvar klart.

Kjerneregelen:
[tex]\frac{d}{dx}[f(g(x))] \;=\; f^{\tiny\prime}(g(x))g^{\tiny\prime}(x)[/tex]

Definisjonen til den deriverte (Newton's):
[tex]f^{\tiny\prime}(x) := \lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}[/tex]

[tex](f\circ g)^{\tiny\prime}(x) \;=\; \lim_{h\rightarrow0}\frac{f(g(x+h)) - f(g(x))}{h}[/tex]

Bevis (falskt)
[tex](f\circ g)^{\tiny\prime}(x)\cdot\left\(\frac{1}{g^{\tiny\prime}(x)}\right\)[/tex]

[tex]\quad=\quad \lim_{h\rightarrow0}\left\(\frac{f(g(x+h)) - f(g(x))}{h}\right\)\cdot\left\(\frac{h}{g(x+h) - g(x)}\right\)[/tex]

[tex]\quad=\quad \lim_{h\rightarrow0}\left\(\frac{f(g(x+h)) - f(g(x))}{g(x+h) - g(x)}\right\) \;=\; f^{\tiny\prime}(g(x))[/tex]

Det vil si:
[tex](f\circ g)^{\tiny\prime}(x)\cdot\left\(\frac{1}{g^{\tiny\prime}(x)}\right\) \;=\;f^{\tiny\prime}(g(x)) \quad\Longrightarrow[/tex]

[tex](f\circ g)^{\tiny\prime}(x) \;=\; f^{\tiny\prime}(g(x))g^{\tiny\prime}(x)\quad[/tex] Q.E.D

Men hva er det som er galt? Jeg klarer ikke å se det. :)
Mitt første inntrykk er at det er noe muffins i den tredje linjen, der man har g(x + h) - g(x) i brøken til definisjonen av den deriverte. Men det går jo allikevel mot null?
An ant on the move does more than a dozing ox.
Lao Tzu
Markonan offline
Euclid
Euclid
Brukerens avatar
Innlegg: 2133
Registrert: 24/11-2006 19:26
Bosted: Oslo

Innlegg espen180 » 03/02-2010 23:32

Når det gjelder den tredje linjer, er vel det

[tex]\frac{df(g(x))}{dg(x)}[/tex]

ikke [tex]\frac{df(g(x))}{dx}[/tex] slik beviset hevder?

Da sier jo "beviset" at [tex]\frac{df(g(x))}{dg(x)}=\frac{df(g(x))}{dx}\frac{dx}{dg(x)}[/tex], som er triviellt?

Ikke sikker, men linje 3 ser ganske fishy ut til meg og.
espen180 offline
Gauss
Gauss
Brukerens avatar
Innlegg: 2578
Registrert: 03/03-2008 15:07
Bosted: Trondheim

Innlegg Magnus » 05/02-2010 23:02

Hva om g(x+h) - g(x) er 0?
Magnus offline
Guru
Guru
Innlegg: 2286
Registrert: 01/11-2004 23:26
Bosted: Trondheim

Innlegg Gustav » 06/02-2010 00:06

Tja, det som er feil må vel være at man deler med [tex]g^,(x)[/tex] allerede i første linje, og denne kan jo godt være 0, så da har du ødelagt beviset allerede da, det er ihvertfall slik jeg ser det.
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4282
Registrert: 12/12-2008 12:44

Innlegg Markonan » 06/02-2010 00:43

Ah, det er kanskje et poeng. Tenkte hele tiden at g(x) måtte være ulik en konstant, men det må den jo slett ikke.

Men hvis man legger til antagelsen om at g(x) ikke er konstant, så vil altså beviset være gyldig?
An ant on the move does more than a dozing ox.
Lao Tzu
Markonan offline
Euclid
Euclid
Brukerens avatar
Innlegg: 2133
Registrert: 24/11-2006 19:26
Bosted: Oslo

Innlegg Markonan » 06/02-2010 12:07

Nei, når jeg tenker meg om er kanskje ikke det noen god løsning.

Da må man jo i tillegg ha med tilleggsantagelsen om at den deriverte er ulik null i punktet som deriveres. Funker dårlig med f.eks cos og sin som har uendelig mange nullpunkter. Da går det fra å være et svakt bevis til et dårlig bevis.
An ant on the move does more than a dozing ox.
Lao Tzu
Markonan offline
Euclid
Euclid
Brukerens avatar
Innlegg: 2133
Registrert: 24/11-2006 19:26
Bosted: Oslo

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 15 gjester