Side 1 av 1

Falskt bevis for kjerneregelen

InnleggSkrevet: 03/02-2010 23:20
Markonan
Dette dukker opp i flere kalkulusbøker (hevdes det i hvert fall), men det er ikke et korrekt bevis. Noen her som kan se hvorfor?

Ser det ikke selv, men skal gå gjennom det litt mer grundig i morgen.
Har ikke noe fasitsvar klart.

Kjerneregelen:
[tex]\frac{d}{dx}[f(g(x))] \;=\; f^{\tiny\prime}(g(x))g^{\tiny\prime}(x)[/tex]

Definisjonen til den deriverte (Newton's):
[tex]f^{\tiny\prime}(x) := \lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}[/tex]

[tex](f\circ g)^{\tiny\prime}(x) \;=\; \lim_{h\rightarrow0}\frac{f(g(x+h)) - f(g(x))}{h}[/tex]

Bevis (falskt)
[tex](f\circ g)^{\tiny\prime}(x)\cdot\left\(\frac{1}{g^{\tiny\prime}(x)}\right\)[/tex]

[tex]\quad=\quad \lim_{h\rightarrow0}\left\(\frac{f(g(x+h)) - f(g(x))}{h}\right\)\cdot\left\(\frac{h}{g(x+h) - g(x)}\right\)[/tex]

[tex]\quad=\quad \lim_{h\rightarrow0}\left\(\frac{f(g(x+h)) - f(g(x))}{g(x+h) - g(x)}\right\) \;=\; f^{\tiny\prime}(g(x))[/tex]

Det vil si:
[tex](f\circ g)^{\tiny\prime}(x)\cdot\left\(\frac{1}{g^{\tiny\prime}(x)}\right\) \;=\;f^{\tiny\prime}(g(x)) \quad\Longrightarrow[/tex]

[tex](f\circ g)^{\tiny\prime}(x) \;=\; f^{\tiny\prime}(g(x))g^{\tiny\prime}(x)\quad[/tex] Q.E.D

Men hva er det som er galt? Jeg klarer ikke å se det. :)
Mitt første inntrykk er at det er noe muffins i den tredje linjen, der man har g(x + h) - g(x) i brøken til definisjonen av den deriverte. Men det går jo allikevel mot null?

InnleggSkrevet: 03/02-2010 23:32
espen180
Når det gjelder den tredje linjer, er vel det

[tex]\frac{df(g(x))}{dg(x)}[/tex]

ikke [tex]\frac{df(g(x))}{dx}[/tex] slik beviset hevder?

Da sier jo "beviset" at [tex]\frac{df(g(x))}{dg(x)}=\frac{df(g(x))}{dx}\frac{dx}{dg(x)}[/tex], som er triviellt?

Ikke sikker, men linje 3 ser ganske fishy ut til meg og.

InnleggSkrevet: 05/02-2010 23:02
Magnus
Hva om g(x+h) - g(x) er 0?

InnleggSkrevet: 06/02-2010 00:06
Gustav
Tja, det som er feil må vel være at man deler med [tex]g^,(x)[/tex] allerede i første linje, og denne kan jo godt være 0, så da har du ødelagt beviset allerede da, det er ihvertfall slik jeg ser det.

InnleggSkrevet: 06/02-2010 00:43
Markonan
Ah, det er kanskje et poeng. Tenkte hele tiden at g(x) måtte være ulik en konstant, men det må den jo slett ikke.

Men hvis man legger til antagelsen om at g(x) ikke er konstant, så vil altså beviset være gyldig?

InnleggSkrevet: 06/02-2010 12:07
Markonan
Nei, når jeg tenker meg om er kanskje ikke det noen god løsning.

Da må man jo i tillegg ha med tilleggsantagelsen om at den deriverte er ulik null i punktet som deriveres. Funker dårlig med f.eks cos og sin som har uendelig mange nullpunkter. Da går det fra å være et svakt bevis til et dårlig bevis.