Jeg lurer på om noen kan hjelpe meg med å svare på hva den deriverte av f(x) = X^x er.
Bruker man;
(1) A^x = A^x * ln A
eller
(2) X^n = n * X^(n-1)
og hvis (2),
X^x = X * X^(n-1) (X * X = X^2 så =>)
(1) X^(2(x-1)) = X^(2x-2)
(2) X^((x-1)+2) = X^(x+1)
Takk på forhånd!
Deriverte av X^x?
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
For å komme fram til det selv, kan du bruke såkalt logaritmisk derivasjon (ta logaritmen til begge sider for å forenkle derivasjonen), og deriver etterpå.
[tex]y=x^x[/tex]
[tex]ln{y}=ln{x^x}[/tex]
[tex]ln{y}=xln{x}[/tex]
Deriverer (bruker kjerneregelen på venstresiden og produktregelen på høyre):
[tex]\frac{1}{y} \frac{dy}{dx}=ln{x}+1[/tex]
Ganger med y og setter inn det originale uttrykket [tex]y=x^x[/tex]:
[tex]\frac{dy}{dx}=x^x(ln{x}+1)[/tex]
[tex]y=x^x[/tex]
[tex]ln{y}=ln{x^x}[/tex]
[tex]ln{y}=xln{x}[/tex]
Deriverer (bruker kjerneregelen på venstresiden og produktregelen på høyre):
[tex]\frac{1}{y} \frac{dy}{dx}=ln{x}+1[/tex]
Ganger med y og setter inn det originale uttrykket [tex]y=x^x[/tex]:
[tex]\frac{dy}{dx}=x^x(ln{x}+1)[/tex]
[tex]e^{i\pi}+1=0[/tex]
Nydelig!
Nydelig!
Evt legg merke til at [tex]x^x=e^{x\ln x}[/tex] (dette er egentlig det samme som "logaritmisk derivasjon", men enklere å forstå (etter min smak).
Cube - mathematical prethoughts | @MatematikkFakta
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)