matematikk.net

Jeg lurer på om noen kan hjelpe meg med å svare på hva den deriverte av f(x) = X^x er.

Bruker man;

(1) A^x = A^x * ln A

eller

(2) X^n = n * X^(n-1)

og hvis (2),

X^x = X * X^(n-1) (X * X = X^2 så =>)

(1) X^(2(x-1)) = X^(2x-2)
(2) X^((x-1)+2) = X^(x+1)

Takk på forhånd!

For å komme fram til det selv, kan du bruke såkalt logaritmisk derivasjon (ta logaritmen til begge sider for å forenkle derivasjonen), og deriver etterpå.

[tex]y=x^x[/tex]
[tex]ln{y}=ln{x^x}[/tex]
[tex]ln{y}=xln{x}[/tex]

Deriverer (bruker kjerneregelen på venstresiden og produktregelen på høyre):

[tex]\frac{1}{y} \frac{dy}{dx}=ln{x}+1[/tex]

Ganger med y og setter inn det originale uttrykket [tex]y=x^x[/tex]:

[tex]\frac{dy}{dx}=x^x(ln{x}+1)[/tex]

mortenfd skrev:(2) X^n = n * X^(n-1)

Denne regelen gjelder bare når n er konstant. Bruk heller at [tex]x^x[/tex] kan skrives som [tex](e^{\ln x})^x = e^{\ln x \cdot x}[/tex] og ta det derfra.

wops

Evt legg merke til at [tex]x^x=e^{x\ln x}[/tex] (dette er egentlig det samme som "logaritmisk derivasjon", men enklere å forstå (etter min smak).