f'(x)=0 ved toppunkt

Mange finner bevis vanskelig. Her er rom for spørsmål vedrørende bevis, og for å dele dine bevis med andre. Vi tenker først og fremst videregående nivå, men det er ingen begrensninger her.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
espen180
Gauss
Gauss
Innlegg: 2578
Registrert: 03/03-2008 15:07
Sted: Trondheim

Jeg legger ut dette beviset med håp om tilbakemelding på logikk og rigorøsitet. Generelle bemerkninger settes også pris på.

Anta at en funksjon [tex]f(x):\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}[/tex] har et toppunkt [tex]x=c[/tex]. Per definisjon gjelder da at [tex]f(c-\delta_1)<f(c)>f(c+\delta_2)[/tex] for vilkårlig små [tex]\delta_1,\delta_2[/tex].

Bevis at hvis [tex]f^\prime (c)[/tex] eksisterer, er [tex]f^\prime (c)=0[/tex].

Anta at [tex]f^\prime (c)[/tex] eksisterer.

[tex]\exist\epsilon_1,\epsilon_2>0\,:\,f(c+\epsilon_1)=f(c-\epsilon_2)[/tex]

Da gir middelverdisetningen at

[tex]\exist k\in (c-\epsilon_2,c+\epsilon_1)\,:\,\frac{f(c+\epsilon_1)-f(c-\epsilon_2)}{\epsilon_1+\epsilon_2}=0=f^\prime (k)[/tex]

Per skviseteoremet

[tex]\lim_{\epsilon_1\to 0} c+\epsilon_1=c[/tex]

[tex]\lim_{\epsilon_2\to 0} c-\epsilon_2=c[/tex]

[tex]c-\epsilon_2<k<c+\epsilon_1\,\Rightarrow \lim_{\epsilon_1\to 0}\lim_{\epsilon_2\to 0}k=c[/tex]

[tex]\Rightarrow f^\prime (c)=0 \hspace{50 mm} \hfill{} QED.[/tex]
Karl_Erik
Guru
Guru
Innlegg: 1079
Registrert: 22/10-2006 23:45

Den første linja di er litt uklar. Du har skrevet at det finnes [tex]\epsilon_1,\epsilon_2>0\[/tex] slik at [tex]f(c+\epsilon_1)=f(c-\epsilon_2)[/tex], men prøver senere å la begge gå mot c. Her er det jo om jeg ikke har misforstått en brist, for du har funnet to bestemte tall og prøver så å endre på dem.

Det du egentlig vil er noe sånt som å si at samme hvor små vi vil at epsilonene skal være kan vi finne et par som oppfyller betingelsen, og om du har dette fører argumentet ditt frem, men er det så opplagt at dette faktisk finnes? Vil du være rigorøs må du i alle fall vise dette.

Ellers er dette kanskje flisespikkeri, men den vanlige (i betydningen den jeg liker) måten å vise middelverdisetningen på er som en konsekvens av Rolles teorem. For å vise dette igjen liker jeg nettopp å bruke det at den deriverte i et toppunkt er null, så det er mulig du går i en slags logisk sirkel her - det er i hvert fall sant at du ikke trenger så sterke resultater som middelverdisetningen for å vise det du vil.
Svar