matematikk.net

Jeg legger ut dette beviset med håp om tilbakemelding på logikk og rigorøsitet. Generelle bemerkninger settes også pris på.

Anta at en funksjon [tex]f(x):\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}[/tex] har et toppunkt [tex]x=c[/tex]. Per definisjon gjelder da at [tex]f(c-\delta_1)<f(c)>f(c+\delta_2)[/tex] for vilkårlig små [tex]\delta_1,\delta_2[/tex].

Bevis at hvis [tex]f^\prime (c)[/tex] eksisterer, er [tex]f^\prime (c)=0[/tex].

Anta at [tex]f^\prime (c)[/tex] eksisterer.

[tex]\exist\epsilon_1,\epsilon_2>0\,:\,f(c+\epsilon_1)=f(c-\epsilon_2)[/tex]

Da gir middelverdisetningen at

[tex]\exist k\in (c-\epsilon_2,c+\epsilon_1)\,:\,\frac{f(c+\epsilon_1)-f(c-\epsilon_2)}{\epsilon_1+\epsilon_2}=0=f^\prime (k)[/tex]

Per skviseteoremet

[tex]\lim_{\epsilon_1\to 0} c+\epsilon_1=c[/tex]

[tex]\lim_{\epsilon_2\to 0} c-\epsilon_2=c[/tex]

[tex]c-\epsilon_2<k<c+\epsilon_1\,\Rightarrow \lim_{\epsilon_1\to 0}\lim_{\epsilon_2\to 0}k=c[/tex]

[tex]\Rightarrow f^\prime (c)=0 \hspace{50 mm} \hfill{} QED.[/tex]

Den første linja di er litt uklar. Du har skrevet at det finnes [tex]\epsilon_1,\epsilon_2>0\[/tex] slik at [tex]f(c+\epsilon_1)=f(c-\epsilon_2)[/tex], men prøver senere å la begge gå mot c. Her er det jo om jeg ikke har misforstått en brist, for du har funnet to bestemte tall og prøver så å endre på dem.

Det du egentlig vil er noe sånt som å si at samme hvor små vi vil at epsilonene skal være kan vi finne et par som oppfyller betingelsen, og om du har dette fører argumentet ditt frem, men er det så opplagt at dette faktisk finnes? Vil du være rigorøs må du i alle fall vise dette.

Ellers er dette kanskje flisespikkeri, men den vanlige (i betydningen den jeg liker) måten å vise middelverdisetningen på er som en konsekvens av Rolles teorem. For å vise dette igjen liker jeg nettopp å bruke det at den deriverte i et toppunkt er null, så det er mulig du går i en slags logisk sirkel her - det er i hvert fall sant at du ikke trenger så sterke resultater som middelverdisetningen for å vise det du vil.