Riktig bevis?

Mange finner bevis vanskelig. Her er rom for spørsmål vedrørende bevis, og for å dele dine bevis med andre. Vi tenker først og fremst videregående nivå, men det er ingen begrensninger her.

Riktig bevis?

Innlegg chrypton1 » 04/12-2010 13:47

Vis at:

[tex]a^2+b^2+c^2 {\ge} ab+bc+ca[/tex]
for alle positive heltall[tex]a,b,c[/tex]

Mitt bevis:

Vi har at:

[tex](a+b+c)^2{\ge}0[/tex]

[tex]a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc{\ge}0[/tex]

[tex]a^2+b^2+c^2{\ge}-2ab-2ac-2bc[/tex]

[tex]a^2+b^2+c^2{\ge}-2(ab+ac+bc)[/tex]

[tex]\frac{a^2+b^2+c^2}{2}{\ge}-(ab+ac+bc)[/tex]

Siden vi har at:

[tex]2{\g}-1[/tex]

Kan vi gjøre følgende:

[tex]\frac{(a^2+b^2+c^2)*2}{2}{\ge}-(ab+ac+bc)*(-1)[/tex]

[tex]\frac{(a^2+b^2+c^2)*\not{2}}{\not{2}}{\ge}(ab+ac+bc)[/tex]

Endelig har vi:

[tex]a^2+b^2+c^2 {\ge} ab+bc+ca[/tex]

[tex]Q.E.D.[/tex]

Det jeg lurer på er om jeg kan bruke [tex]2{\g}-1[/tex] for å kvitte meg med totallet på venstre side og det negative på høyre side.

Takk.
chrypton1 offline
Noether
Noether
Brukerens avatar
Innlegg: 24
Registrert: 04/02-2009 16:58

Innlegg Vektormannen » 04/12-2010 14:31

edit: Hm, glem dette.
Elektronikk @ NTNU | nesizer
Vektormannen offline
Euler
Euler
Brukerens avatar
Innlegg: 5889
Registrert: 26/09-2007 18:35
Bosted: Trondheim

Innlegg chrypton1 » 04/12-2010 14:34

Jeg beklager mitt dumme spørsmål. Ulikheten snus når man ganger/deler med et negativt tall på en av sidene.
chrypton1 offline
Noether
Noether
Brukerens avatar
Innlegg: 24
Registrert: 04/02-2009 16:58

Innlegg Vektormannen » 04/12-2010 14:43

Jeg tror du kommer lettere i havn om du bruker at [tex](a-b-c)^2 \geq 0[/tex].
Elektronikk @ NTNU | nesizer
Vektormannen offline
Euler
Euler
Brukerens avatar
Innlegg: 5889
Registrert: 26/09-2007 18:35
Bosted: Trondheim

Innlegg Karl_Erik » 04/12-2010 14:45

Du kan dessverre ikke gjøre den forkortingen, nei, og om du legger merke til at likhet holder i den originale ulikheten når a=b=c, mens Vektormannens foreslåtte ulikhet ikke har dette tror jeg ikke dette kommer til å føre fram heller. Det du dog kan gjøre er å først vise ulikheten [tex]a^2+b^2 \geq 2ab[/tex] og se litt på denne.
Karl_Erik offline
Guru
Guru
Innlegg: 1076
Registrert: 22/10-2006 22:45

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 1 gjest