Riktig bevis?
Lagt inn: 04/12-2010 13:47
Vis at:
[tex]a^2+b^2+c^2 {\ge} ab+bc+ca[/tex]
for alle positive heltall[tex]a,b,c[/tex]
Mitt bevis:
Vi har at:
[tex](a+b+c)^2{\ge}0[/tex]
[tex]a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc{\ge}0[/tex]
[tex]a^2+b^2+c^2{\ge}-2ab-2ac-2bc[/tex]
[tex]a^2+b^2+c^2{\ge}-2(ab+ac+bc)[/tex]
[tex]\frac{a^2+b^2+c^2}{2}{\ge}-(ab+ac+bc)[/tex]
Siden vi har at:
[tex]2{\g}-1[/tex]
Kan vi gjøre følgende:
[tex]\frac{(a^2+b^2+c^2)*2}{2}{\ge}-(ab+ac+bc)*(-1)[/tex]
[tex]\frac{(a^2+b^2+c^2)*\not{2}}{\not{2}}{\ge}(ab+ac+bc)[/tex]
Endelig har vi:
[tex]a^2+b^2+c^2 {\ge} ab+bc+ca[/tex]
[tex]Q.E.D.[/tex]
Det jeg lurer på er om jeg kan bruke [tex]2{\g}-1[/tex] for å kvitte meg med totallet på venstre side og det negative på høyre side.
Takk.
[tex]a^2+b^2+c^2 {\ge} ab+bc+ca[/tex]
for alle positive heltall[tex]a,b,c[/tex]
Mitt bevis:
Vi har at:
[tex](a+b+c)^2{\ge}0[/tex]
[tex]a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc{\ge}0[/tex]
[tex]a^2+b^2+c^2{\ge}-2ab-2ac-2bc[/tex]
[tex]a^2+b^2+c^2{\ge}-2(ab+ac+bc)[/tex]
[tex]\frac{a^2+b^2+c^2}{2}{\ge}-(ab+ac+bc)[/tex]
Siden vi har at:
[tex]2{\g}-1[/tex]
Kan vi gjøre følgende:
[tex]\frac{(a^2+b^2+c^2)*2}{2}{\ge}-(ab+ac+bc)*(-1)[/tex]
[tex]\frac{(a^2+b^2+c^2)*\not{2}}{\not{2}}{\ge}(ab+ac+bc)[/tex]
Endelig har vi:
[tex]a^2+b^2+c^2 {\ge} ab+bc+ca[/tex]
[tex]Q.E.D.[/tex]
Det jeg lurer på er om jeg kan bruke [tex]2{\g}-1[/tex] for å kvitte meg med totallet på venstre side og det negative på høyre side.
Takk.