Jeg skal vise at tensorproduktet av to [tex]\mathbb{Z}[/tex]-moduler [tex]\mathbb{Z}_a[/tex] og [tex]\mathbb{Z}_b[/tex]: [tex]\mathbb{Z}_a \otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}_b[/tex] er isomorft med [tex]\mathbb{Z}_{gcd(a,b)}[/tex] (der [tex]\mathbb{Z}_a[/tex] er den additive gruppen av heltall modulo [tex]a[/tex] etc.) ved å bruke "universalegenskapen" (universal property) til tensorproduktet.
La [tex]\phi[/tex] være avbildningen fra [tex]\mathbb{Z}_a\times \mathbb{Z}_b [/tex] til [tex]\mathbb{Z}_d[/tex] der [tex]d=gcd(a,b)[/tex], gitt ved at [tex]\phi (x,y)=xy \, mod(d)[/tex] der [tex]x\in \mathbb{Z}_a, y\in\mathbb{Z}_b[/tex]. Da er [tex]\phi[/tex] bilineær siden [tex]\phi (x+y,z)=(x+y)z=xz+yz=\phi (x,z)+\phi (y,z)[/tex], [tex]\phi (x,y+z)=x(y+z)=xy+xz=\phi (x,y)+\phi (x,z)[/tex], og [tex]\phi (x,ky)=x(ky)=(kx)y=\phi (kx,y)[/tex].
Universalegenskapen sier da at det fins en unik Z-lineær avbildning [tex]f[/tex] fra [tex]\mathbb{Z}_a \otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}_b[/tex] til [tex]\mathbb{Z}_d[/tex] slik at [tex]f(x\otimes y)=\phi (x,y)[/tex] for alle [tex]x\in\mathbb{Z}_a[/tex] og [tex]y\in \mathbb{Z}_b[/tex].
Dersom [tex]f[/tex] er surjektiv og kardinaliteten til [tex]\mathbb{Z}_a \otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}_b[/tex] og [tex]\mathbb{Z}_d[/tex] er den samme, følger det at [tex]f[/tex] er injektiv. Da følger det at [tex]f[/tex] er en isomorfi, og vi er ferdige (siden tensorproduktet kun er bestemt opp til isomorfi):
Siden [tex]f(1\otimes y)=\phi(1,y)=y \, mod(d)[/tex] er [tex]f[/tex] surjektiv, og da er kardinaliteten til tensorproduktet nødvendigvis større enn eller lik [tex]d[/tex].
Kardinaliteten til [tex]\mathbb{Z}_a \otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}_b[/tex] må også være mindre enn eller lik [tex]d[/tex] siden elementet [tex]1\otimes 1[/tex] genererer gruppen og er av orden mindre enn eller lik [tex]d[/tex]. Det følger at tensorproduktet har [tex]d[/tex] ulike elementer, og at [tex]f[/tex] er en isomorfi. Altså er tensorproduktet unikt bestemt opp til isomorfi.
Spørsmål: Hvordan kunne man vist dette på en enklere og mer direkte måte?
Tensorproduktet av moduler
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Bare for å ha ting på rent bord: Universalegenskapen til tensorproduktet [tex]M \oplus_{\mathbb{Z}} N[/tex] er følgende:
Gitt enhver bilineær avbildning [tex]g:M \times N \to P[/tex] for en modul [tex]P[/tex], finnes en unik avbildning [tex]f:M \otimes_{\mathbb{Z}} N \to P[/tex] slik at enhver annen homomorfi og modul som oppfyller diagrammet faktoriserer gjennom [tex]f[/tex]. Ved abstrakt non-sense er enhver annen [tex]\mathbb{Z}[/tex]-modul som oppfyller den universelle egenskapen isomorf med tensorproduktet.
Avbildningen du definerer er åpenbart bilineær. Så anta vi har en bilineær avbildning [tex]\mathbb{Z}_a \times \mathbb{Z}_b \to P[/tex] for en eller annen [tex]\mathbb{Z}[/tex]-modul. Vi må vise at vi har en unik homomorfi [tex]\mathbb{Z}_d \to P[/tex].
Merk at en bilineær avbildning [tex]\mathbb{Z}_a \times \mathbb{Z}_b \to P[/tex] er bestemt av hvor [tex](1,0)[/tex] og [tex](0,1)[/tex] sendes. Ved å kreve kommutativitet av trekantdiagrammet, ser vi at vi må ha [tex]1 \mapsto f(1,0)+f(0,1)[/tex] under [tex]f:\mathbb{Z}_d \to P[/tex]. Så vi har en unik avbildning.
Det gjenstår bare å sjekke at ethvert annet slikt par (modul og avbildning [tex]\to P[/tex]) faktoriserer gjennom [tex]f[/tex]. Det holder å sjekke at tensorproduktet faktoriserer unikt gjennom [tex]f[/tex]. (jeg er litt for dum for akkurat den delen av oppgaven. Siden vi ennå ikke har brukt at d=gcd(a,b), så er det vel nå det er på tide å gjøre det. På en eller annen måte. Men nå må jeg tenke på andre ting)
Gitt enhver bilineær avbildning [tex]g:M \times N \to P[/tex] for en modul [tex]P[/tex], finnes en unik avbildning [tex]f:M \otimes_{\mathbb{Z}} N \to P[/tex] slik at enhver annen homomorfi og modul som oppfyller diagrammet faktoriserer gjennom [tex]f[/tex]. Ved abstrakt non-sense er enhver annen [tex]\mathbb{Z}[/tex]-modul som oppfyller den universelle egenskapen isomorf med tensorproduktet.
Avbildningen du definerer er åpenbart bilineær. Så anta vi har en bilineær avbildning [tex]\mathbb{Z}_a \times \mathbb{Z}_b \to P[/tex] for en eller annen [tex]\mathbb{Z}[/tex]-modul. Vi må vise at vi har en unik homomorfi [tex]\mathbb{Z}_d \to P[/tex].
Merk at en bilineær avbildning [tex]\mathbb{Z}_a \times \mathbb{Z}_b \to P[/tex] er bestemt av hvor [tex](1,0)[/tex] og [tex](0,1)[/tex] sendes. Ved å kreve kommutativitet av trekantdiagrammet, ser vi at vi må ha [tex]1 \mapsto f(1,0)+f(0,1)[/tex] under [tex]f:\mathbb{Z}_d \to P[/tex]. Så vi har en unik avbildning.
Det gjenstår bare å sjekke at ethvert annet slikt par (modul og avbildning [tex]\to P[/tex]) faktoriserer gjennom [tex]f[/tex]. Det holder å sjekke at tensorproduktet faktoriserer unikt gjennom [tex]f[/tex]. (jeg er litt for dum for akkurat den delen av oppgaven. Siden vi ennå ikke har brukt at d=gcd(a,b), så er det vel nå det er på tide å gjøre det. På en eller annen måte. Men nå må jeg tenke på andre ting)
Cube - mathematical prethoughts | @MatematikkFakta
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
OK, så det du sier er at du skal vise at det for enhver bilineær avbildning B fra [tex]\mathbb{Z}_a \times \mathbb{Z}_b \to P[/tex] der [tex]P[/tex] er en eller annen Z-modul, finnes en unik homomorfi [tex]f[/tex] fra [tex]Z_d[/tex] til [tex]P[/tex] slik at diagrammet kommuterer?FredrikM skrev: Merk at en bilineær avbildning [tex]\mathbb{Z}_a \times \mathbb{Z}_b \to P[/tex] er bestemt av hvor [tex](1,0)[/tex] og [tex](0,1)[/tex] sendes. Ved å kreve kommutativitet av trekantdiagrammet, ser vi at vi må ha [tex]1 \mapsto f(1,0)+f(0,1)[/tex] under [tex]f:\mathbb{Z}_d \to P[/tex]. Så vi har en unik avbildning.
[tex]f[/tex] er vel da bestemt ut fra hvordan elementet 1 i [tex]Z_d[/tex] avbildes, og [tex]B(1,1)=f(1)[/tex], så da må man sjekke at [tex]B(x,y)=f(\phi (x,y))[/tex] for alle par [tex]x\in \mathbb{Z}_a, y\in\mathbb{Z}_b[/tex] ? (der [tex]\phi[/tex] er definert som i det første innlegget)
Vil ikke elementene (1,0) og (0,1) sendes til 0 under en bilineær avbildning ?
(Vi har vel at B(1,0)=B(1,0+0)=B(1,0)+B(1,0) så B(1,0)=0)
PS: Beklager dersom disse spørsmålene er trivielle, men jeg hadde litt trøbbel med å få en presis forståelse av dette med universal property. Tok aldri kommutativ algebra på uio, og det som står i Atiyahs lille grønne bok om tensorprodukter var ikke det helt store (få konkrete eksempler)... Takk for svar forresten:)
Hehe, det har du selvsagt rett i.Vil ikke elementene (1,0) og (0,1) sendes til 0 under en bilineær avbildning ?
(Vi har vel at B(1,0)=B(1,0+0)=B(1,0)+B(1,0) så B(1,0)=0)
Beklager rotete svar i stad (eventuelt vente til Charlatan/Karl-Erik ser posten din - de burde klare å skrive et mindre rotete svar;)
Anyway:
Tensorproduktet La [tex]A[/tex] være en kommutativ ring og [tex]M,N[/tex] A-moduler. Tensorproduktet [tex]M \otimes_A N[/tex] er en A-modul sammen med en funksjon [tex]\otimes:M\times N\to M\otimes_A N[/tex] som oppfyller følgende universelle egenskap: La P være an A-modul. Gitt enhver bilineær avbildning [tex]g:M \times N \to P[/tex] finnes en unik avbildning[tex] f:M \otimes N \to P[/tex] slik at diagrammet (som du tegner selv) kommuterer. Og universell med hensyn på denne egenskapen: Det vil si at for enhver annen modul og funksjon som oppfyller diagrammet, faktoriserer disse gjennom tensorproduktet. ([tex]M\times N[/tex] sammen med identitetsavbildningen oppfyller det første kravet, men er ikke universell med hensyn på dette)
--
Hm. Å bevise dette vha universalegenskapen alene virker vanskelig. Et internettsøk fant denne filen: http://www.math.umn.edu/~garrett/m/algebra/notes/27.pdf Den beviser ikke det du spør om (bevise vha universell egenskap), men beviser påstanden nonetheless. Den ser ut til å være ganske grundig.
Cube - mathematical prethoughts | @MatematikkFakta
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Beviset ditt virker helt riktig og fullstendig plutarco utenom en liten ting, du glemmer å vise at avbildningen er veldefinert. Merk at du øyeblikkelig får problemer med dette hvis d ikke hadde vært en felles divisor.
d = gcd(a,b) brukes også når du sier at [tex]1 \otimes 1[/tex] maksimalt har orden d. Grunnen til dette er som du sikkert har verifisert at man kan finne x og y s.a. [tex]ax+by = d[/tex]. Altså er [tex]0= 0 \otimes 1 = (ax) \otimes 1 = 1 \otimes ax=1 \otimes (d-by)=1 \otimes d=d(1 \otimes 1)[/tex], så [tex]d (1 \otimes 1) = 0[/tex].
Den raskeste måten å vise noe om tensorproduktet er nettopp som du gjør å bruke universalegenskapen (som gir deg den induserte Z-modul-homomorfien, som egentlig er alt du trenger). Jeg ser egentlig ingen enklere måte å gjøre dette på, f.eks å vise at kjernen er triviell og det å sammenligne kardinalitet går praktisk talt ut på det samme.
Jeg ser ingen grunn til å vise universalegenskapen for [tex]\mathbb{Z}_d[/tex]. Det følger jo av at denne modulen er isomorf med tensorproduktet.
At tensorproduktet er unikt opp til isomorfi følger forresten av universalegenskapen, og trenger ikke vises.
Universalegenskapen som FredrikM presist har forklart er ganske mystisk ved første øyekast, men det viktige (og det som er verdt å huske) angående dette er at enhver A-bilineær avbildning fra M x N til P faktisk induserer en A-modul homomorfi fra [tex]M \otimes_A N[/tex] til P. Det er ganske vanskelig å behandle tensorproduktet uten å benytte seg av denne egenskapen.
d = gcd(a,b) brukes også når du sier at [tex]1 \otimes 1[/tex] maksimalt har orden d. Grunnen til dette er som du sikkert har verifisert at man kan finne x og y s.a. [tex]ax+by = d[/tex]. Altså er [tex]0= 0 \otimes 1 = (ax) \otimes 1 = 1 \otimes ax=1 \otimes (d-by)=1 \otimes d=d(1 \otimes 1)[/tex], så [tex]d (1 \otimes 1) = 0[/tex].
Den raskeste måten å vise noe om tensorproduktet er nettopp som du gjør å bruke universalegenskapen (som gir deg den induserte Z-modul-homomorfien, som egentlig er alt du trenger). Jeg ser egentlig ingen enklere måte å gjøre dette på, f.eks å vise at kjernen er triviell og det å sammenligne kardinalitet går praktisk talt ut på det samme.
Jeg ser ingen grunn til å vise universalegenskapen for [tex]\mathbb{Z}_d[/tex]. Det følger jo av at denne modulen er isomorf med tensorproduktet.
At tensorproduktet er unikt opp til isomorfi følger forresten av universalegenskapen, og trenger ikke vises.
Universalegenskapen som FredrikM presist har forklart er ganske mystisk ved første øyekast, men det viktige (og det som er verdt å huske) angående dette er at enhver A-bilineær avbildning fra M x N til P faktisk induserer en A-modul homomorfi fra [tex]M \otimes_A N[/tex] til P. Det er ganske vanskelig å behandle tensorproduktet uten å benytte seg av denne egenskapen.