Bevis at firkant i firkant er parallellogram

[Roy]

Har vært borte fra matematikken i en god del år nå, og kom over boken Matte med mening, som hadde følgende påstand:

Tegn en vilkårlig firkant.
Merk midtpunktet på hver side.
Bind sammen midtpunktene med streker.

Du får et parallellogram.

Men boken inneholder ikke noe bevis, og jeg har prøvd å se på de forskjellige trekantene man kan tegne opp, men har ikke greid å finne et generelt bevis for påstanden.

Kan noen hjelpe?

[Roy]

Ingen som har svar? Påstanden ser rett ut, men jeg har foreløpig ikke greid å finne et generelt bevis for at vi ender opp med et parallellogram. så jeg er fremdeles interessert i hjelp her.

[Vektormannen]

Er du kjent med vektorregning? Jeg tror i såfall det er den kjappeste måten å vise det på.

[Roy]

Må innrømme jeg slet med den på universitetet da jeg studerte mekanikk. Og ellers ville jeg ha foretrukket et bevis som ville fungere for enten ungdomsskoleelever eller elever på videregående. Synes vektorregning høres litt avansert ut. Og jeg har litt problemer med helt å se hvordan jeg kan bruke det her, særlig siden jeg sliter med å se hvordan jeg kan vise at vinklene er like to og to.

[Vektormannen]

Jeg tror noe sånt bør fungere:

Kaller hjørnene i frikanten for A, B, C og D og midtpunktet på AB for P, på BC for Q, på CD for R og på AD for S. Da er trekant APS formlik med trekant ABD (fordi de deler samme vinkel og har tilsvarende sider som er parallelle og har samme lengdeforhold), så linjestykket PS er parallelt med linjestykket BD. Men det samme gjelder for trekant CQR og BCD, og linjestykket QR må være parallelt med linjestykket BD. Men da er QR også parallell med PS. Det samme kan du gjøre med de to andre trekantene, PBQ og RDS. Da finner du at også RS og PQ er parallelle, og da må altså firkanten PQRS være et parallellogram.

Dette kan kanskje virke noe kryptisk, men tegn en figur så er det nok mye klarere.

[Roy]

Takk! Da løsnet det straks. Jeg bandt meg altfor mye opp i å prøve å vise noe for vinklene PSR, PQR osv. i den indre firkanten. Tenkte ikke på å ta utgangspunkten i diagonalene i ABCD.

Dette skulle jeg til og med kunne bruke i ungdomsskolen, tror jeg.

[Karl_Erik]

høres litt avansert ut. Og jeg har litt problemer med helt å se hvordan jeg kan bruke det her, særlig siden jeg sliter med å se hvordan jeg kan vise at vinklene er like to og to.

Jeg foretrekker rene geometriske beviser som Vektormannens, og spesielt når de er så pene som det han hadde, men skulle du ha lyst til å se hvordan et vektorbevis ser ut vil det være noe sånt som dette:

Legg firkanten din inn i et koordinatsystem, og la [tex]\vec a[/tex] være vektoren fra origo til punktet A, og [tex]\vec b, \vec c, \vec d[/tex] defineres tilsvarende. Da er (vektoren fra origo til) midpunktet på siden AB lik [tex]\frac {\vec a + \vec b} 2[/tex], og midpunktet på siden BC [tex]\frac {\vec b + \vec c} 2[/tex], så vektoren fra det ene midpunktet til det andre (det vil si vektoren med lengde og retning tilsvarende den ene siden i den indre firkanten) vil være [tex]\frac { \vec c + \vec b} 2 - \frac {\vec a + \vec b} 2 = \frac {\vec c - \vec a} 2[/tex]. Tilsvarende finner du at den motstående siden er [tex]\frac {\vec a - \vec c} 2[/tex]. Poenget nå er at vi ser at den ene vektoren er -1 ganget med den andre, så de er parallelle og har lik retning. Dette viser at to motsatte sider i den indre firkanten er parallelle og like lange, og du kan gjøre akkurat det samme for det andre sideparet, så vi er ferdige.

[Roy]

Takk for forslag! Jeg greier å følge beviset, men det er ikke akkurat på ungdomsskolestadiet, der jeg har noen vikartimer. Skal ogå undervise litt i VG1 og VG2, og tror det blir for avansert også der, egentlig. Da foretrekker jeg det andre beviset som baserer seg på formlike trekanter.

Men takk for forslaget.