Et lite bevis som jeg kom på, men usikker på om mitt resonnement er riktig.
Anta at [tex]\sqrt{3}[/tex] er rasjonell. Da har vi at:
[tex]\sqrt{3}=\frac{p}{q}[/tex],
hvor [tex]p, q\in Z[/tex]
Deretter:
[tex]3=\frac{p^2}{q^2}[/tex]
[tex]1=\frac{p^2}{3q^2}[/tex]
Siden det ikke fins et set med [tex]p,q[/tex] som tilfredsstiller likningen over betyr det at [tex]\sqrt{3}[/tex] er et irrasjonelt tall.
Blir dette riktig?
Bevis for at kvadrat rota av 3 er irrasjonelt - riktig?
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Eg vil diverre ikkje seie at det er trivielt og seie at det ikkje eksisterer eit par [tex]p,q \in \mathbb{Z}[/tex] s.a. likninga er oppfylt. (sjølv om det i dette tilfellet er openbart at det ikkje eksisterer slike tal, er det ikkje stringent nok i mine auge) Du må og anta at p og q er maksimalt forkorta, dvs at [tex]gcd(p,q)=1[/tex].
Klarar du no og vise at 3 må vere ein faktor i både p og q? Dersom den er det så vil det jo stride med antakinga di om at p og q er maksimalt forkorta. Hugs at
[tex] 3 = \frac{p^2}{q^2} \Leftrightarrow p^2 = 3q^2 [/tex]
Kva kan du no seie om [tex]p^2[/tex] basert på hintet ovanfor?
Klarar du no og vise at 3 må vere ein faktor i både p og q? Dersom den er det så vil det jo stride med antakinga di om at p og q er maksimalt forkorta. Hugs at
[tex] 3 = \frac{p^2}{q^2} \Leftrightarrow p^2 = 3q^2 [/tex]
Kva kan du no seie om [tex]p^2[/tex] basert på hintet ovanfor?