Bevis for at kvadrat rota av 3 er irrasjonelt - riktig?

Mange finner bevis vanskelig. Her er rom for spørsmål vedrørende bevis, og for å dele dine bevis med andre. Vi tenker først og fremst videregående nivå, men det er ingen begrensninger her.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
chrypton1
Noether
Noether
Innlegg: 24
Registrert: 04/02-2009 16:58

Et lite bevis som jeg kom på, men usikker på om mitt resonnement er riktig.

Anta at [tex]\sqrt{3}[/tex] er rasjonell. Da har vi at:

[tex]\sqrt{3}=\frac{p}{q}[/tex],
hvor [tex]p, q\in Z[/tex]

Deretter:

[tex]3=\frac{p^2}{q^2}[/tex]

[tex]1=\frac{p^2}{3q^2}[/tex]

Siden det ikke fins et set med [tex]p,q[/tex] som tilfredsstiller likningen over betyr det at [tex]\sqrt{3}[/tex] er et irrasjonelt tall.

Blir dette riktig?
Hi im HK
Cantor
Cantor
Innlegg: 135
Registrert: 26/05-2009 14:48
Sted: Tromsø

Annet enn at det skal være [tex]1=\frac{3p^2}{q^2}[/tex] ledd #3, mener jeg det er riktig
HK - Student ved UiT. ProGass
tosha0007
Cayley
Cayley
Innlegg: 54
Registrert: 16/05-2009 17:33

Eg vil diverre ikkje seie at det er trivielt og seie at det ikkje eksisterer eit par [tex]p,q \in \mathbb{Z}[/tex] s.a. likninga er oppfylt. (sjølv om det i dette tilfellet er openbart at det ikkje eksisterer slike tal, er det ikkje stringent nok i mine auge) Du må og anta at p og q er maksimalt forkorta, dvs at [tex]gcd(p,q)=1[/tex].

Klarar du no og vise at 3 må vere ein faktor i både p og q? Dersom den er det så vil det jo stride med antakinga di om at p og q er maksimalt forkorta. Hugs at

[tex] 3 = \frac{p^2}{q^2} \Leftrightarrow p^2 = 3q^2 [/tex]
Kva kan du no seie om [tex]p^2[/tex] basert på hintet ovanfor?
Svar