Heisann, jeg sliter veldig med riemannintegraler og Uniform Kontinuitet, og lurte på om noen har en god forklaring på dette? Spesiellt da Uniform kontinuitet. Problemet er alle forskjellige anntagelsene jeg føler jeg må gjøre..
Slik jeg har forstått det er uniform kontinuitet at for hver epsilon finnes det en delta, sa delta er en funksjon av epsilon..
En oppgave lyder:
Foreksempel å vise at h(x) = sin(x2) ikke er uniformt kontinuerlig på intervallet (- uendelig, uendelig). Prøv med punktene x[sup]2[/sup] = n[symbol:pi] og y[sup]2[/sup] = n[symbol:pi] + ([symbol:pi] /2)
Og jeg finner rett og slett ikke ut hvordan denne skal løses.. anyone? =)
Uniform kontinuitet
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Uniform kontinuitet skiller seg fra kontinuitet ved at det man krever av en kontinuerlig funksjon i et punkt, krever man heller av hele funksjonen. Hvis den formelle definisjonen virker kryptisk, betyr uniform kontinuitet essensielt at det finnes en størrelse på et åpent intervall (gitt ved delta) slik at differanser av funksjonen i ethvert intervall av en slik størrelse ikke blir overstiger epsilon (delta avhenger altså av epsilon). Vi fokuserer ikke på et gitt punkt som vi gjør ved kontinuitet. Intervallet får lov til å "variere" over hele definisjonsområdet.
Og som plutarco påpeker kan det vises at en differensierbar funksjon er uniformt kontinuerlig hvis og bare hvis den deriverte er begrenset. Dette er jo i og for seg et bevis det kan lønne seg å prøve seg på. Du vil sannsynligvis få bruk for middelverdisetningen her, i hvert fall for den ene veien.
Og som plutarco påpeker kan det vises at en differensierbar funksjon er uniformt kontinuerlig hvis og bare hvis den deriverte er begrenset. Dette er jo i og for seg et bevis det kan lønne seg å prøve seg på. Du vil sannsynligvis få bruk for middelverdisetningen her, i hvert fall for den ene veien.
For å vise at en funksjon ikke er uniformt kontinuerlig, må man motbevise at for enhver epsilon finnes en delta slik at |x-y|<delta medfører at |f(x)-f(y)|<epsilon. Det vil si at du trenger å finne en enkelt epsilon slik at enhver delta ikke duger. Det vil altså si at for en enkelt epsilon, må du for enhver delta finnes x og y (x og y avhenger av delta) slik at |x-y|<delta og |f(x)-f(y)| >= epsilon.
I dette tilfellet vil jeg foreslå du velger epsilon = 1/2, og prøver å finne x og y for enhver delta som er slik at |x-y|<delta og |f(x)-f(y)| >= 1/2.
Som du ser vil differansen mellom de x'ene og y'ene som er definert gå mot 0 når n går mot uendelig. Så for enhver delta kan du finne x og y på den formen slik at |x-y| < delta. Vis dette, og bekreft at faktisk |f(x)-f(y)| >= 1/2.
I dette tilfellet vil jeg foreslå du velger epsilon = 1/2, og prøver å finne x og y for enhver delta som er slik at |x-y|<delta og |f(x)-f(y)| >= 1/2.
Som du ser vil differansen mellom de x'ene og y'ene som er definert gå mot 0 når n går mot uendelig. Så for enhver delta kan du finne x og y på den formen slik at |x-y| < delta. Vis dette, og bekreft at faktisk |f(x)-f(y)| >= 1/2.