Bevis for produktregelen er her fra boka som jeg forsåvit hegner med på:
http://bildr.no/view/918745
Jeg mener jeg har klart å bruke produktregelen for å bevise at en brøk bestående av to nte grads g mte grads uttrykk med forskjellig base kan deriveres ved produktregelen og få samme resukltat som kvotientregelen:
[tex]\frac{d}{dx}\frac{a^n}{b^m}[/tex]
som blir
[tex]\frac{d}{dx}(a^nb^{-m})=na^{n-1}b^{-m}+a^n(-mb^{-m-1})=[/tex]
[tex]\frac{na^{n-1}-ma^n}{b^m}[/tex]
[tex]\frac{bna^{n-1}}{b^{m+1}}-\frac{ma^n}{b^{m+1}}[/tex]
[tex]\frac{bna^{n-1}-ma^n}{b^{m+1}[/tex]
brøkregelen for derivasjon gir:
[tex]\frac{d}{dx}\frac{a^n}{b^m}=\frac{na^{n-1}b^m-mb^{m-1}a^n}{b^{2m}[/tex]
[tex]\frac{na^{n-1}b^{m+1}-mb^{m}a^n}{b^{2m+1}[/tex]
[tex]\frac{na^{n-1}b-ma^n}{b^{m+1}[/tex]
men kan dette bevises for generelt uttrykk for brøkregelen hvor teller er u og nevner er v:
[tex]\frac{d}{dx}(\frac{u}{v})[/tex]
De har bevist derivasjon av brøk i boka så det jeg lurer på er vel rett og slett om man kan derivere en brøk ved produktregelen. Som jeg mener jeg har sett at det gjør. Her er bevis for produktregelen i boka:
http://bildr.no/view/918782
derivering av brøk ved produktregelen
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Du kan fint derivere en brøk med produktregelen, noe man egentlig kan vise direkte.
For noen funksjoner u(x) og v(x), så sier kvotientregelen:
[tex]\Big(\frac{u(x)}{v(x)}\Big)^\prime \;=\; \frac{u^{\tiny\prime}(x)v(x) - u(x)v^{\tiny\prime}(x)}{v^2(x)}[/tex]
Definerer vi [tex]g(x) := \frac{1}{v(x)}[/tex] som er det samme som [tex]v(x) = \frac{1}{g(x)}[/tex], får vi med produktregelen:
[tex]\Big(\frac{u(x)}{v(x)}\Big)^\prime = \Big(u(x)\cdot g(x)\Big)^\prime = u^{\tiny\prime}(x)g(x) + u(x)g^{\tiny\prime}(x)[/tex]
Kan begynne med uttrykket vi får fra kvotientregelen, bytte ut v'ene med 1/g og se om vi klarer å utlede resultatet fra produktregelen.
Utgangspunktet vårt er:
[tex]\frac{u^{\tiny\prime}(x)v(x) - u(x)v^{\tiny\prime}(x)}{v^2(x)}\qquad\qquad(\dagger)[/tex]
Da har vi
[tex]v(x) = \frac{1}{g(x)}[/tex]
[tex]v^2(x) = \frac{1}{g^2(x)}[/tex]
Og den deriverte krever litt mer jobb:
[tex]\begin{align}v^{\tiny\prime}(x) &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{v(x+h) - v(x)}{h}\\&= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{\frac{1}{g(x+h)} - \frac{1}{g(x)}}{h}\\&= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h\cdot g(x+h)} - \frac{1}{h\cdot g(x)}\\ &\quad\vspace{10pt} \\&= \lim_{h\rightarrow 0} \frac{g(x) - g(x+h)}{h \cdot g(x+h)g(x)} \\ &\quad\vspace{15pt} \\&= \lim_{h\rightarrow 0}-\frac{g(x+h) - g(x)}{h}\cdot\frac{1}{g(x+h)g(x)} \\ &\quad\vspace{15pt} \\ &= -\frac{g^{\tiny\prime}(x)}{g^2(x)}\end{align}[/tex]
Sånn, og da setter vi disse tre uttrykkene inn i [tex](\dagger)[/tex]
[tex]\frac{u^{\tiny\prime}(x)v(x) - u(x)v^{\tiny\prime}(x)}{v^2(x)} \;=\; \frac{u^{\tiny\prime}(x) \cdot \frac{1}{g(x)} - u(x)\Big(-\frac{g^{\tiny\prime}(x)}{g^2(x)}\Big)}{\frac{1}{g^2(x)}}[/tex]
[tex]=\; g^2(x)\Big(u^{\tiny\prime}(x) \cdot \frac{1}{g(x)} - u(x)\Big(-\frac{g^{\tiny\prime}(x)}{g^2(x)}\Big)\Big)[/tex]
[tex]=\; u^{\tiny\prime}(x)g(x) + u(x)g^{\tiny\prime}(x)[/tex]
Voila!
Jeg er forresten ikke helt enig med det eksempelet du brukte. Hvis a og b er konstanter så blir jo den deriverte null, og er de forkortelser for a(x) og b(x) så deriveres de på gal måte.
Du kan i stedet bruke produktregelen og kvotientregelen på uttrykket
[tex]f(x) = \frac{x^n}{x^m}[/tex]
der n og m er ulik 1.
Denne kan deriveres direkte med:
[tex]f^{\tiny\prime}(x) = \Big(x^{n-m}\Big)^\prime = (n-m)x^{n-m-1}[/tex]
Det er god trening å finne frem til det samme svaret med de andre reglene.
For noen funksjoner u(x) og v(x), så sier kvotientregelen:
[tex]\Big(\frac{u(x)}{v(x)}\Big)^\prime \;=\; \frac{u^{\tiny\prime}(x)v(x) - u(x)v^{\tiny\prime}(x)}{v^2(x)}[/tex]
Definerer vi [tex]g(x) := \frac{1}{v(x)}[/tex] som er det samme som [tex]v(x) = \frac{1}{g(x)}[/tex], får vi med produktregelen:
[tex]\Big(\frac{u(x)}{v(x)}\Big)^\prime = \Big(u(x)\cdot g(x)\Big)^\prime = u^{\tiny\prime}(x)g(x) + u(x)g^{\tiny\prime}(x)[/tex]
Kan begynne med uttrykket vi får fra kvotientregelen, bytte ut v'ene med 1/g og se om vi klarer å utlede resultatet fra produktregelen.
Utgangspunktet vårt er:
[tex]\frac{u^{\tiny\prime}(x)v(x) - u(x)v^{\tiny\prime}(x)}{v^2(x)}\qquad\qquad(\dagger)[/tex]
Da har vi
[tex]v(x) = \frac{1}{g(x)}[/tex]
[tex]v^2(x) = \frac{1}{g^2(x)}[/tex]
Og den deriverte krever litt mer jobb:
[tex]\begin{align}v^{\tiny\prime}(x) &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{v(x+h) - v(x)}{h}\\&= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{\frac{1}{g(x+h)} - \frac{1}{g(x)}}{h}\\&= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h\cdot g(x+h)} - \frac{1}{h\cdot g(x)}\\ &\quad\vspace{10pt} \\&= \lim_{h\rightarrow 0} \frac{g(x) - g(x+h)}{h \cdot g(x+h)g(x)} \\ &\quad\vspace{15pt} \\&= \lim_{h\rightarrow 0}-\frac{g(x+h) - g(x)}{h}\cdot\frac{1}{g(x+h)g(x)} \\ &\quad\vspace{15pt} \\ &= -\frac{g^{\tiny\prime}(x)}{g^2(x)}\end{align}[/tex]
Sånn, og da setter vi disse tre uttrykkene inn i [tex](\dagger)[/tex]
[tex]\frac{u^{\tiny\prime}(x)v(x) - u(x)v^{\tiny\prime}(x)}{v^2(x)} \;=\; \frac{u^{\tiny\prime}(x) \cdot \frac{1}{g(x)} - u(x)\Big(-\frac{g^{\tiny\prime}(x)}{g^2(x)}\Big)}{\frac{1}{g^2(x)}}[/tex]
[tex]=\; g^2(x)\Big(u^{\tiny\prime}(x) \cdot \frac{1}{g(x)} - u(x)\Big(-\frac{g^{\tiny\prime}(x)}{g^2(x)}\Big)\Big)[/tex]
[tex]=\; u^{\tiny\prime}(x)g(x) + u(x)g^{\tiny\prime}(x)[/tex]
Voila!
Jeg er forresten ikke helt enig med det eksempelet du brukte. Hvis a og b er konstanter så blir jo den deriverte null, og er de forkortelser for a(x) og b(x) så deriveres de på gal måte.
Du kan i stedet bruke produktregelen og kvotientregelen på uttrykket
[tex]f(x) = \frac{x^n}{x^m}[/tex]
der n og m er ulik 1.
Denne kan deriveres direkte med:
[tex]f^{\tiny\prime}(x) = \Big(x^{n-m}\Big)^\prime = (n-m)x^{n-m-1}[/tex]
Det er god trening å finne frem til det samme svaret med de andre reglene.
An ant on the move does more than a dozing ox.
Lao Tzu
Lao Tzu
