d/dx (e^x)

[Aleks855]

Hvor enn jeg finner beviset for at [tex]\frac{d}{dx}e^x = e^x[/tex] så brukes det en del forutsetninger, og i stedet for å bruke definisjonen av den deriverte, så brukes det en del omskriving og substitusjoner.

Kan man bruke definisjonen av den deriverte, for å derivere [tex]e^x[/tex]?

Altså:

[tex](e^x)^{\tiny\prime} \ = \ \lim_{h \to 0} \frac{e^{(x-h)}-e^x}{h} \ = \ e^x[/tex]

[Nebuchadnezzar]

*peke på integralteknikktråden* Andre eller tredje innlegget.

[Aleks855]

Aiai. Hadde glemt at det sto der.
Tror jeg skal lese den tråden igjen. Ser at mye mer faller inn denne gangen, enn forrige gang.

[Nebuchadnezzar]

=)

Bevis er artig. Helstat man klarer å utlede dem uten å slå dem opp. Selv klarte jeg ikke beviset over helt uten hjelp. Så ikke trikset med å ta inn definisjonen av e.

[Aleks855]

Ironisk nok var det der det stoppa til meg også.

[Charlatan]

Beviset i integraltråden bruker at [tex]e = \lim_{y \to 0} (1+y)^{\frac{1}{y}}, [/tex]og at den deriverte er [tex]e^x\lim_{h \to 0}\frac{e^h-1}{h} = e^x\lim_{h \to 0}\frac{\lim_{y \to 0} (1+y)^{\frac{h}{y}}-1}{h}[/tex]


Men her er jo grenseverdien til med variabel y allerede bestemt før vi tar grenseverdien for h. y må få variere fritt for enhver konstant h og gå mot 0, og deretter kan h gå mot 0.

Et eksempel på hvordan det kan gå galt:

Vi vil finne [tex]\lim_{h \to \infty} \lim_{y \to \infty} \frac{h}{y}. [/tex]

Skriver vi y = h, får vi

[tex]\lim_{h \to \infty} \lim_{h \to \infty} \frac{h}{h} = 1[/tex]. Men

[tex]\lim_{y \to \infty} \frac{h}{y} = 0[/tex] for alle h. Så

[tex]\lim_{h \to \infty} \lim_{y \to \infty} \frac{h}{y} = \lim_{h \to \infty} 0 = 0. [/tex]
Det er klart vi gjorde noe galt her. Poenget er at grenseverdien i telleren i beviset ikke kan gå mot 0 "samtidig" som h. (de er bundede variabler i to forskjellige grenseoperatorer)

Andre argumenter går på følgende måte:

Vi skal finne hva [tex]\frac{e^h-1}{h}[/tex] er når h går mot 0. Siden [tex]e \approx (1+h)^{\frac{1}{h}}[/tex] når h er liten, så er [tex]e^h \approx 1+h[/tex] når h er liten. Så

[tex]\frac{e^h-1}{h} \approx \frac{1+h-1}{h} = 1[/tex] når h er liten.

Men det kan da ikke motsies at [tex]e^h \approx 1+2h[/tex] når h er liten, (da [tex]\lim_{h \to 0} e^h = \lim_{h \to 0} 1+2h[/tex])

(og dersom du sier at 1+h er en bedre tilnærmelse enn 1+2h (for tilsvarende h), så sier jeg at 1+h+h^2/2 er en enda bedre en)

Men dette gir jo at [tex]\frac{e^h-1}{h} \approx \frac{1+2h-1}{h} = 2[/tex].

Så det er alltid viktig å føre presise argumenter, for dersom man gjør en liten (men aldri så plausibel) feil, kan man ende opp med helt galt svar.