bevis taylor polynomials errorverdi

[gill]

Vi skal vise hva errorverdien til taylor polynomialer er. Forklart her:

http://bildr.no/view/969931

http://bildr.no/view/969932

http://bildr.no/view/969933

Jeg har satt meg inn i det slik at man velger et uttrykk for feilverdien med en ukjent konstant foran:



[tex]K(x-a)^{n+1}[/tex]

Feilverdien kan greit approksimeres med den deriverte av grad n+1 siden den neste graden av deriverte, n+1, gir enda en variabel for uttrykket som man ikke har tatt høyde for på samme måte som hvis man approksimerte en verdie av f(x) ved å genge x med fart v og visste at legemet hadde konstant akselerasjon og tok med a som feilverdi (trenger ikke være at neste grad av derivering er konstant for at man kan approksimere feilverdien med det siden man kan velge et vilkårlig punkt antar jeg men).

Deretter løser de for K.

Så bruker de Rolles theorem, det er hvordan de bruker Rolles theorem jeg lurer på. De lager en funksjon

[tex]F(x)=f(x)-\Phi_n(x)[/tex]

da er F(x) verdien til taylorpolynomialet siden man har trukket fra feilverdien til taylorpolynomialet fra den funksjonen, f(x), Taylorpolynomialet approksimerer.

hvor [tex]\Phi_n(x)[/tex] er uttrykk for feilverdien. Så sier de at F(a)=F(b). Hvordan vet de at de er det? Det er betingelse for Rolles theorem at hvis to punkter av en funksjon er like vil stigningstallet på et eller annet punkt være 0. Men jeg skjønner ikke hvorfor de får at for alle b og a når man bruker Taylor polynomial kan man skrive verdiene for taylorapproksimasjonen i a, F(a), og b, F(b), som lik hverandre.

Her er Rolles theorem men det burde ikke være noe vanskelig å bruke det:

http://bildr.no/view/969944

http://bildr.no/view/969946

[Vektormannen]

Veldig seint svar, men hvis du fortsatt lurer på dette så er det jo bare å prøve å sette inn a og b i F og se hva som skjer!

[tex]F(a) = f(a) - \phi_n(a) = f(a) - (P_n(a) - K(a-a)^{n+1}) = f(a) - f(a) = 0[/tex]

[tex]F(b) = f(b) - \phi_n(b) = f(b) - (P_n(b) - K(b-a)^{n+1}) = f(b) - \left(P_n(b) - \frac{f(b) - P_n(b)}{(b-a)^{n+1}} \cdot (b-a)^{n+1}\right) = 0[/tex]

[gill]

Absolutt lurer veldig på denne enda

men hvorfor gir alle verdier F(x) at F(x)=0? MAn kunne jo valgt en vilkårlig b så vidt jeg kan se

[Vektormannen]

Nei, hvis du velger en annen verdi enn b så forandrer du jo også funksjonen F. F velges slik den gjør, og med det valget blir F(b) = 0 (som du kan se ovenfor.)