bevis for powerregler

[gill]

Noen som har noe bevis for

[tex]\sqrt[q]{(\sqrt[y]{a^x})^p}=\sqrt[yq]{a^{xp}}[/tex]


Er utgangspunktet for veldig mange regler av derivering i matte men jeg får liksom aldri forklart for meg selv disse formlene

Hvis man kunne ha bevist at potensregning bare var ganging så hadde man vist at rekkefølgen av rottaging og eksponensiering var likegyldig. Det hadde vært en start kanskje men jeg klarer ikke det heller:

[tex](a^x)^{\frac{1}{y}}=(a_1\cdot a_2\cdot ...a_x)^{\frac{1}{y}}=k^{\frac{1}{y}}[/tex]



Kommer ingen vei med å regne med rottagingen

[Markonan]

[tex]\sqrt[q]{(\sqrt[y]{a^x})^p}[/tex]

Definisjonen på n-te roten er 1/n som eksponent. Da kan du skrive uttrykket om til:
[tex] = (((a^x)^{\frac{1}{y}})^p)^{\frac{1}{q}}[/tex]

Herfra er det bare å gange sammen eksponentene, som du kan gjøre fra de vanlige regnereglene.

[tex]= (a^{\frac{x}{y}})^{\frac{p}{q}}[/tex]

[tex]= a^{\frac{xp}{yq}}[/tex]

[tex]= (a^{xp})^{\frac{1}{yq}}[/tex]

[tex]= \sqrt[yq]{a^{xp}}[/tex]