Skal her prøve å vise at dersom H er en ikke-tom endelig delmengde av en gruppe G og er er lukket under operasjonen til G, så må H være en undergruppe av G.
For å vise at H er en undergruppe av G, må vi vise at 1. H er lukket under binæroperasjonen til G, 2. identitetselementet e til G er i H, og 3. hvert element i H har et inverselement i H (dette er et teorem).
1. er allerede gitt som en hypotese, så jeg går rett på 2. Siden H er ikke-tom, lar jeg a være et vilkårlig element i H. Så ser jeg på hva som skjer når man anvender a med seg selv et vilkårlig antall ganger, med andre ord på mengden [tex]P:=\{a^n | n \in \mathbb{Z}^+ \}[/tex], som må være en delmengde av H siden H er lukket under operasjonen til G.
Her kommer delen jeg synes jeg gjør litt upresist, men siden H er endelig, så må også P være endelig, og da må vel [tex]a^m = a[/tex] for en heltallig m>1. Dette gir at [tex]a^{m-1}[/tex] er et identitetselement og dermed identiteten til G, siden [tex]aa^{m-1}=a^{m-1}a=a^m=a[/tex]. Dersom m>2 må også [tex]aa^{m-2}=a^{m-2}a = a^{m-1}=e[/tex], så [tex]a^{m-2} = a^{-1}[/tex]. Siden a var vilkårlig, kan vi vel konkludere med at alle elementer i H har inverselement og dermed er beviset ferdig, såfremt m>2.
Hvis m=2 så gir dette at [tex]a^2 = a[/tex], og da er a=e, og a er sin egen invers.
Alt i alt synes jeg dette ble ganske rotete og jeg lurer på om mesterne på forumet har noen kommentarer å komme med til en som nettopp har begynt å snuse på abstrakt algebra.
Grunnleggende gruppeteori
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
