Hjelp til induksjonsbevis

[lenovo]

Hei! Skal bevise at denne formelen er rettt
(2n-1)(2n)(2n+1) :6 (kan ikke å skrive brøk i forumet...)


For n= k: 1+9+25+49+...+(2k+1) [sup]2[/sup]=(2k-1)(2k)(2k+1) :6
For n=k+1:
V.S: 1+9+25+49+...+(2k-1)[sup]2[/sup] + (2k+1)[sup]2[/sup]H.S: (2k+1)-1)(2k+1)((2k+1)+1)= (2k)(2k+1)(2k+2) :6

Så hvis jeg har forstått dette rett så skal det vises at det over er lik:

(2k-1)(2k)(2k+1) :6 +(2k+1)

Men så kommer jeg ikke noe lenger...
Håper dere skjønner sammenhengen her selv om jeg ikke kan å skrive med brøk her inne... Håper på litt hjelp

[Gustav]

Hm, den korrekte formelen for kvadratsummen av de n første oddetallene er

[tex]\sum_{j=0}^n (2j+1)^2=\frac{(n+1)(2n+1)(2n+3)}{3}[/tex].

Ikke rart du ikke får til å vise det du prøver på når formelen du prøve å vise er feil.

[Brahmagupta]

Formelen er faktisk riktig. Forskjellen er bare at han summerer til [tex](2n-1)^2[/tex] i stedet for til [tex](2n+1)^2[/tex]. Ser bare ut som en slurvefeil i den første posten.

[Gustav]

Ja, det er sant det.

[2357]

Vi vil vise at [tex]\sum_{j = 1}^n (2j - 1)^2 = \frac{2n (2n - 1)(2n + 1)}{6} = \frac{n (2n - 1)(2n + 1)}{3}[/tex]

Det er lett å se at uttrykket stemmer for [tex]n = 1[/tex].

Vi antar så at formelen er riktig for [tex]n = k[/tex], altså

[tex]1 + 9 + \cdots + (2k-1)^2 = \frac{k(2k-1)(2k+1)}{3}[/tex].

Vi ønsker å vise at det medfører at formelen også stemmer for [tex]n = k + 1[/tex]. Da skal

[tex]\begin{align} \sum_{j = 1}^{k + 1} (2j - 1)^2 &= \frac{(k +1) (2(k + 1) - 1)(2(k + 1) + 1)}{6} \\ &= \frac{(k + 1) (2k + 1)(2k + 3)}{3} \\ &= (2k + 1) \frac{2k^2 + 5k + 3}{3} \end{align}[/tex]

Fra induksjonshypotensen gjelder

[tex]\begin{align}1 + 9 + \cdots + (2k - 1)^2 + (2k + 1)^2 &= \frac{k(2k-1)(2k+1)}{3} + (2k + 1)^2 \\ &= (2k + 1) \left( \frac{k(2k-1)}{3} +2k + 1\right) \\ &= (2k + 1) \frac{2k^2 + 5k + 3}{3} \end{align} [/tex]

som var det vi skulle vise.

[lenovo]

Hei!

Og tusen takk for svar.

Kanksje noen dumme spørsmål jeg stiller nå, men for meg så kan det se ut som om det er lettere å se at det stemmer for den neste i rekka når den blir seende ut slik som du skriver i andre linje under der du viser at formelen stemmer for n=k+1. Altså: (k+1)(2k+1)(2k+3) :3

Hvordan vet du hvor langt du skal faktorisere, og hvilken form du vil ha formelen på? Kan vi si at den stemmer for n=k+1 fordi du kommer frem til det samme uttrykket i siste linje under induksjonshypotesen og siste linje der du viser at den stemmer for n=k+1. Synes dette med induksjonsbevis var komplisert..

Men det er likevel litt klarere da



Forresten hvordan får dere til å skrive inn brøk o.l i forumet?

[2357]

Hvordan vet du hvor langt du skal faktorisere, og hvilken form du vil ha formelen på?

Jeg synes dette er et godt spørsmål, for den opprinnelige planen min var nettopp å skrive alt på faktorisert form, men underveis syntes jeg at det var enklere/mer rett fram å skrive [tex]\frac{k(2k -1)}{3} + 2k + 1[/tex] helt ut, enn å faktorisere det. Dermed gikk jeg tilbake til det jeg hadde allerede skrevet og la til et skritt til der jeg regnet ut to av parantesene. Så svaret blir vel noe à la "ta det som det kommer".

Kan vi si at den stemmer for n=k+1 fordi du kommer frem til det samme uttrykket i siste linje under induksjonshypotesen og siste linje der du viser at den stemmer for n=k+1?

Ja. Gitt at formelen stemmer for [tex]n = k[/tex] forventer/får vi et visst uttrykk for [tex]n = k + 1[/tex]. Siden vi klarer å vise at dette er i overensstemmelse med det vi får dersom vi stapper inn [tex]n = k + 1[/tex] i det generelle uttrykket, ser vi at formelen stemmer for [tex]n = k + 1[/tex] også.

Forresten hvordan får dere til å skrive inn brøk o.l i forumet?

Hvis du siterer de aktuelle innleggene, kan du se nøyaktig hvordan de bestemte formlene er skrevet. For en billedlig innføring i [tex]\TeX[/tex] kan du se her.