Bevis: Oppgave 1.221 i CoSinus R1

[malef]

Vis at:

x går opp i 24 [tex]\Rightarrow[/tex] x går opp i 48

Jeg ser at 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 og 24 går opp i både 24 og 48. Men jeg aner ikke hvordan jeg skal begynne for å lage et bevis. Supert hvis noen kan hjelpe meg i gang!

Edit: endret til litt mer informativ tittel

[Vektormannen]

Her er det nok mange måter å formulere et bevis på. Ren oppramsing av faktorene, slik du gjør her, vil teknisk sett være et korrekt bevis (hvis du da fortsetter med å si at x må være en av disse, og derfor må være en faktor i 48 også.) Men det er ikke en bevismetode som lar seg overføre til så veldig mange andre problemstillinger.

Her kan det være lurt å få en klar idé om hva det vil si at et tall går opp i et annet. At x går opp i 24 vil si at når vi deler 24 på x, så får vi et helt tall. Det tallet kan vi kalle for f.eks. k. Da er [tex]\frac{24}{x} = k[/tex]. Hva kan du da si om [tex]\frac{48}{x}[/tex]?

[malef]

[tex]\frac{48}{x}=2k[/tex]

Men jeg ser ikke ennå lyset i tunnelen ...

[Vektormannen]

Akkurat, 48/x = 2k. Men k er et helt tall, og da er 2k et helt tall, ikke sant? Hvordan var definisjonen vi brukte på at et tall går opp i et annet?

[malef]

Vi skal sitte igjen med et helt tall når vi deler et tall på et annet. Jeg har nå de to heltallene k og 2k. Jeg kan jo f.eks dele 2k på k og få 2, men jeg ser ikke at det beviser noe.

[Vektormannen]

Definisjonen som vi brukte til å begynne med sier at hvis x går opp i 48, må det være sånn at når vi deler 48 på x så får vi et helt tall. Du har nettopp vist at 48 / x gir et helt tall (2k). Da er beviset ferdig!

Jeg tror grunnen til at det kan være litt vanskelig å se at vi faktisk har bevist noe, er at dette er en såpass banal påstand at det nesten sier seg selv (kanskje?)

[Aleks855]

Jeg hadde selv litt vanskelig for å "henge med", fordi det er vanskelig å se endepunktet i oppgaven. Den er litt obskur.

[malef]

Ok, tusen takk! Jeg får tygge litt på den - kommer sikkert tilbake med flere, for dette synes jeg er vanskelig!

[Vektormannen]

Bevisføring er utvilsomt vanskelig. Det er en uvant tankegang, spesielt på VGS-nivå. Som vanlig er det snakk om å gjøre en del bevis for at det skal begynne å sitte. Så det er bare å trene.

Jeg kan oppsummere beviset:

Vi ønsker å vise at hvis x går opp i 24, så går x opp i 48. For å gjøre dette trenger vi definisjonen av det at et tall går opp i et annet. Hvis a går opp i b så betyr det at [tex]\frac{b}{a}[/tex] er et helt tall. Premisset her er at x går opp i 24. Da er [tex]\frac{24}{x}[/tex] et helt tall. Dette kaller vi [tex]k[/tex]. Det vi ønsker å vise er at x går opp i 48. Det betyr altså at vi må vise at [tex]\frac{48}{x}[/tex] er et helt tall. Vi har at [tex]\frac{48}{x} = \frac{2 \cdot 24}{x} = 2k[/tex] som er et helt tall. Da er beviset med andre ord fullført.

edit: brukte * som gangetegn

[malef]

Prøver meg igjen:
Vis at:
2 går opp i x og 3 går opp i y [tex]\Rightarrow[/tex] 6 går opp i xy

Vi har et helt tall [tex]k=\frac{x}{2}[/tex] og et helt tall [tex]l=\frac{y}{3}[/tex]. Da er også [tex]kl[/tex] et helt tall. [tex]kl=\frac{x}{2} \cdot \frac{y}{3}=\frac{xy}{6}[/tex]. Siden [tex]kl[/tex] er et helt tall, går [tex]6[/tex] opp i [tex]xy[/tex]

Er det bevist?

[Vektormannen]

Jepp, det er et korrekt bevis. Bra!

(Jeg kan nevne at det kanskje er mest vanlig å skrive x = 2k og y = 3k når vi vet at et tall x går opp i 2 og et tall y går opp i 3. Det har ikke noe å si for beviset selvsagt, men det er det som er mest vanlig. Det var litt dumt av meg å ikke gjøre det i sted. Det burde vært 24 = kx og videre at 48 = 2kx.)

[malef]

Supert - Q.E.D

Jeg kunne altså skrevet beviset slik?

Vi har et helt tall [tex]k=\frac{x}{2}\Leftrightarrow 2k=x[/tex] og et helt tall [tex]l=\frac{y}{3}\Leftrightarrow 3l=y [/tex].

Nå får jeg vel et problem med overgangen?

Da er også [tex]xy[/tex] et helt tall. [tex]xy=2k \cdot 3l=6kl[/tex]. Siden [tex]xy[/tex] er et helt tall, går [tex]6[/tex] opp i [tex]xy[/tex].

[Vektormannen]

Du kunne skrevet beviset slik. Men du kunne bare med en gang skrevet x = 2k og y = 3l. Du trenger ikke å skrive at k = x/2 først.

Det blir ikke noe problem videre. Det er helt riktig at [tex]xy = 2k \cdot 3l = 6 kl[/tex]. Men da må du til slutt konkludere med at [tex]xy = 6kl[/tex], altså er 6 en faktor i xy, dvs. at 6 går opp i xy.

[malef]

Jeg har gruet meg til å ta tak i disse bevisene, men nå føler jeg at det begynner å løsne. Slenger på siste deloppgave også:

Vis at:
x er et partall og y er et partall [tex]\Rightarrow[/tex] 4 går opp i xy

Vi har et helt tall [tex]x=2k[/tex] og et helt tall [tex]y=2l[/tex]. Da er også [tex]xy[/tex] et helt tall. [tex]xy=2k \cdot 2l=4kl[/tex]. Siden [tex]xy[/tex] er et helt tall og 4 er en faktor i [tex]xy[/tex], går 4 opp i [tex]xy[/tex].

[tex]Q.E.D.[/tex]

Det må da bli rett?

[Vektormannen]

Jepp, all grunn til å skrive QED der.