Leste tråden "Problemløsningsteknikker" og tenkte at jeg skulle prøve meg på èn av oppgavene. Jeg har så og si ingen erfaring med bevis om man ser bort i fra noen få induksjonsbevis fra matematikk R2. Men har er altså mitt forsøkt på å løse oppgavene:
Alfabetet: Anta at bokstavene i det engelske alfabetet (a til z) ordnet i en tilfeldig rekkefølge. (I engelsk er a, e, i, o, og u regnet som vokaler og y som konsonant.)
a) Vis at det må finnes 4 etterfølgende konsonanter.
b) Vis at det ikke nødvendigvis må finnes 5 etterfølgende konsonanter.
c) Vis at dersom alfabetet er ordnet i en sirkel, må det finnes 5 etterfølgende konsonanter.
a)
Vi vet at det er totalt 26 bokstaver i det engelske alfabetet. Totalt 5 av dem er vokaler. Da sitter vi igjen med 21 konsonanter og 5 vokaler.
Vi ser nå på en situasjon der vi får så mange «båser» med konsonanter som mulig.
-----Vokal-----Vokal-----Vokal-----Vokal-----Vokal-----
Vi ser da at vi har maks 6 båser hvor konsonantene står. Vi ser at [21/6 ]= 3,5. Da vi ikke kan dele opp bokstaver er èn av båsene nødt til å inneholde minst 4 konsonanter. Hvis vi setter noen vokaler inntil hverandre, vil vi få enda færre båser, men vi har fortsatt 21 konsonanter. Hvis det nye tallet på båser er N og N<6 vil [21/N]>3,5. Dermed vil vi uansett få en eller annen bås som har 4 eller flere konsonanter etter hverandre. Ergo: uansett hvilken rekkefølge bokstavene er i så vil vi få minst 4 konsonanter etter hverandre etter eller annet sted.
b)
Er ikke helt sikker på hvordan jeg skal strukturere denne oppgaven. Er det nok å vise et eksempel på at det ikke går an?
I tilfelle:
Hvis vi deler opp vokalene slik at vi har maksimalt antall båser vi kan fordele konsonantene på, får vi 6 båser.
-----Vokal-----Vokal-----Vokal-----Vokal-----Vokal-----
Vi kan se at vi f.eks kan sette det opp slik: 4k V 4k V 4k V 4k V 4k V 1k, hvor V er vokaler og k er konsonanter. Her ser vi altså at det finnes en mulig kombinasjon hvor fem konsonanter ikke står etter hverandre.
c)
Dersom vokalene står i sirkel får vi maksimalt 5 «båser» - som forekommer når ingen av vokalene står inntil hverandre. Vi kan sette opp [21/5]= 4,2. Dermed må èn av båsene inneholde minst 5 konsonanter. Av samme grunn som i oppgave a vil dette samme skje om noen vokaler står inntil hverandre.
Så, det var mitt første forsøk på bevis. Er dette tilstrekkelige bevis?
Problemløsning: Alfabetet
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
- Abel
- Innlegg: 665
- Registrert: 27/01-2007 22:55
Dette ser bra ut:)
Bevisteknikken du bruker blir brukt så ofte at den har fått et eget navn. Den er kjent som bl.a. The Pigeon Hole Principle eller Dirichlet's Box Principle
Bevisteknikken du bruker blir brukt så ofte at den har fått et eget navn. Den er kjent som bl.a. The Pigeon Hole Principle eller Dirichlet's Box Principle