Bevis for ruter og bevegelse

[Anjar]

Er det fornuft i dette?

Innledning
Du har et rutenett med 3x3 ruter og begynner oppe i venstre hjørne (1):
1 2 3
4 5 6
7 8 9
Du kan flytte deg horisontalt og vertikalt, men ikke diagonalt. Du kan kun flytte én rute om gangen. Du kan flytte tilbake.
Påstand: Etter elleve trekk står du på tallet 2, 4, 6 eller 8.

Bevis
A. Innledende algebra
Påstand: Dersom a+b+c+d=e, e=2t+1 så må (a+b)=2k+1 og (c+d)=2f (eller motsatt).
Bevis: a+b+c+d=e
(a+b)+(c+d)=e
2k+1+2f=2t+1
k+f=t
q.e.d.

B. Innledende algebra
Påstand: Dersom a+b+c+d=e, e=2t+1 så må (a-b)+(c-d) kunne skrives 2g+1.
Bevis: Vi sier at (a-b)=2k+1 og (c-d)=2f (eller motsatt):
(a-b)+(c-d)=2g+1
2k+1+2f=2g+1
k+f=g
q.e.d.

C. Innledende vektor
Påstand: Dersom første punkt og siste punkt har oddetallssum, må vektoren [b,d] ha partallssum.
Bevis: [a,c]+[b,d]=[e,f].
a+b=e, e=a+b
c+d=f, f=c+d
e+f=a+b+c+d
Vi setter e+f=2t+1.
Ut fra A ser vi at enten må (a+c) eller (b+d) kunne skrives som 2f+1 .
q.e.d.

D. Praktisk del
Påstand: I innledningen.
Bevis: Vi vil her ha en vektorligning med formen [a,b]+[c,d]=[e,f].
Vi setter ruten man starter i som (0,0). Siden det er lov å flytte tilbake, må [c,d] kunne skrives [m-n,o-p]. Om vi ser på egenskapene og A-C ser vi at etter k antall flytt har vi m+n+o+p=k. Dersom k er et oddetall har vi sett at e+f også må være et oddetall. Det betyr at e og f ikke kan være (partall,partall) eller (oddetall,oddetall). Det vil være motsatt om k er et partall.
q.e.d.

[Vektormannen]

Hei, og velkommen til forumet!

Til spørsmålet ditt i starten: Ja, det er fornuft i dette, men jeg syns kanskje det er vel omstendig? Jeg har også noen kommentarer og spørsmål.

I del A skal du vise at hvis a+b+c+d er et oddetall så er enten a+b et oddetall og c+d et partall, eller motsatt. Bevisgangen er helt grei frem til du bytter ut a+b med 2k+1 og c+d med 2f. Det kan virke ubetydelig, men det du har gjort da er jo egentlig å anta at a+b og c+d er hhv. oddetall og partall og så vist at summen blir et oddetall. Men du skal vise er på en måte det motsatte: At hvis summen er et partall så må hvert av leddene være henholdsvis et oddetall og et partall. I del B gjør du den samme type logiske feil; du kan ikke begynne med å anta at a-b + c-d = 2g+1, det er jo det du skal vise! Dette går mest på hvordan du har formulert / satt opp bevisene. Du har sikkert tenkt riktig.

Ellers er jeg med på tankegangen og hovedideen tror jeg. Slik jeg forstår deg så mener du da at vi må ende opp med f.eks. [1,0] (som tilsvarer 2), [2,1] (som tilsvarer 6) og så videre, men aldri f.eks. [0,0] (1), [1,1] (5), og så videre. Jeg tenkte ikke i det hele tatt på en slik angrepsmåte (å gi tallene koordinater), men det er jo egentlig en stilig idé og fungerer fint. Det jeg kanskje savner er en litt mer utfyllende forklaring. Det er for eksempel ikke helt innlysende at vektorer med oddetall og partall som komponenter tilsvarer partall i rutenettet.

(Dette kan sikkert bevises på mange måter. Én annen idé jeg kan komme på er å se på hvilke tall vi får når vi beveger oss opp, ned, til venstre eller til høyre, uansett hvor vi står. Her vil det helt generelt være et mønster.)

[Aleks855]

Jeg er ingen jævel på bevisoppgaver, men slik jeg ser det, så kan vi observere at hvis du står på et oddetall, og beveger deg 1 steg innenfor reglene, så havner du på et partall. Således for partall til oddetall.

Dette vil si at hvis du tar et oddetall antall steg, eksempelvis 11, så havner du på motsatt delelighet. Altså hvis du tar 11 steg fra et oddetall, så havner du på partall, og vice versa.

[Fibonacci92]

Som Aleks855 sier:

En fin måte å tenke på i sånn oppgave er å tenke på et sjakkbrett på 3x3 ruter. De hvite rutene er oddetallene, og de svarte rutene er partallene.

Si at du begynner på en hvit rute. Ett flytt gjør at du havner på en svart rute. Dersom du flytter enda en gang havner du på en hvit rute, osv.

Dersom du du begynner på en hvit rute havner du altså på en svart rute etter 11 trekk.

[Emilga]

Velkommen til forumet!

Å betrakte paritet kan gi elegante løsninger på noen typer problemer. Se f.eks. på disse to oppgavene:

"Produktet av 22 heltall er lik 1. Vis at summen av dem ikke kan være lik null." (Heltallene er 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, ...)

"Tre pucker A, B og C ligger på en is-bane. En hockeyspiller slår puckene slik at den pucken som blir slått går mellom de to andre puckene. Hvis han skyter 25 ganger, kan han få puckene tilbake i startposisjonene?"