"Bijection"
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Eksempel 1:
Det aller enkleste eksempelet er kanskje identitetsavbildningen definert ved at f(x)=x med f.eks. de naturlige tall som domene(definisjonsmengde) og verdimengde.
(Husk at bijektiv = injektiv + surjektiv)
Vise surjektivitet:
Må vise at det for ethvert element y i verdimengden fins en x i domenet slik at f(x)=y. Det er bare å velge x=y. Altså er f surjektiv (også kalt på/onto).
Vise injektivitet:
Anta at f(x)=f(y). Da må x=y, altså er funksjonen injektiv (en-til-en).
Eksempel 2:
La [tex]f[/tex] være en funksjon fra [tex]\mathbb{R}[/tex] til [tex]\mathbb{R}[/tex] definert ved at [tex]f(x)=x^3[/tex].
Vise surjektivitet:
Må vise at det for alle reelle tall y fins en x slik at x^3=y. Det er bare å velge [tex]x=y^{\frac13}[/tex].
Vise injektivitet:
La f(x)=f(y). Da er [tex]x^3=y^3[/tex], og følgelig må x=y, så funksjonen er injektiv.
Moteksempel:
[tex]f(x)=x^2[/tex] fra [tex]\mathbb{R}[/tex] til [tex]\mathbb{R}[/tex] er hverken injektiv eller surjektiv.
Bevis for at den ikke er surjektiv: Velg y=-1 fra verdimengden: det fins ingen reell x slik at [tex]f(x)=x^2=-1[/tex].
Bevis for at den ikke er injektiv: Vi har f.eks. at f(1)=f(-1) = 1, altså fins det to ulike elementer i domenet som avbildes til samme element i verdimengden.
PS: det er helt avgjørende å vite hva som er domene og verdimengde når det er snakk om injektivitet og surjektivitet. Dersom vi i moteksempelet hadde avgrenset verdimengden til kun de positive reelle tall, hadde funksjonen vært surjektiv. Dersom vi i tillegg hadde avgrenset domenet til de positive relle tall, ville funksjonen også være injektiv, og følgelig bijektiv.
Det aller enkleste eksempelet er kanskje identitetsavbildningen definert ved at f(x)=x med f.eks. de naturlige tall som domene(definisjonsmengde) og verdimengde.
(Husk at bijektiv = injektiv + surjektiv)
Vise surjektivitet:
Må vise at det for ethvert element y i verdimengden fins en x i domenet slik at f(x)=y. Det er bare å velge x=y. Altså er f surjektiv (også kalt på/onto).
Vise injektivitet:
Anta at f(x)=f(y). Da må x=y, altså er funksjonen injektiv (en-til-en).
Eksempel 2:
La [tex]f[/tex] være en funksjon fra [tex]\mathbb{R}[/tex] til [tex]\mathbb{R}[/tex] definert ved at [tex]f(x)=x^3[/tex].
Vise surjektivitet:
Må vise at det for alle reelle tall y fins en x slik at x^3=y. Det er bare å velge [tex]x=y^{\frac13}[/tex].
Vise injektivitet:
La f(x)=f(y). Da er [tex]x^3=y^3[/tex], og følgelig må x=y, så funksjonen er injektiv.
Moteksempel:
[tex]f(x)=x^2[/tex] fra [tex]\mathbb{R}[/tex] til [tex]\mathbb{R}[/tex] er hverken injektiv eller surjektiv.
Bevis for at den ikke er surjektiv: Velg y=-1 fra verdimengden: det fins ingen reell x slik at [tex]f(x)=x^2=-1[/tex].
Bevis for at den ikke er injektiv: Vi har f.eks. at f(1)=f(-1) = 1, altså fins det to ulike elementer i domenet som avbildes til samme element i verdimengden.
PS: det er helt avgjørende å vite hva som er domene og verdimengde når det er snakk om injektivitet og surjektivitet. Dersom vi i moteksempelet hadde avgrenset verdimengden til kun de positive reelle tall, hadde funksjonen vært surjektiv. Dersom vi i tillegg hadde avgrenset domenet til de positive relle tall, ville funksjonen også være injektiv, og følgelig bijektiv.
Det virker som om plutarco har misforståt spørsmålet litt. Du tenker på dette, http://en.wikipedia.org/wiki/Bijective_proof, som en teknikk for å telle størrelsen på mengder?
Ett veldig enkelt eksempel er om du har lyst å telle antall delmengder av en mengde [tex]X[/tex]. Om [tex]|X[/tex] har [tex]n[/tex] elementer, så vil vi finne antall delmengder, nemlig [tex]|\mathcal{P}(X)|[/tex], nemlig størrelsen på potensmengden til [tex]X[/tex].
Én måte å gjøre dette på er å identifisere en delmengde av [tex]X[/tex] med en n-lengde sekvens av nullere og enere. Så f.eks 000000 svarer til den tomme delmengden, 000001 svarer til å kun ta med første elementet, og så videre. Dette gir en bijeksjon mellom delmengder av [tex]X[/tex] og binære tall mellom [tex]0[/tex] og [tex]2^n-1[/tex]. Den siste mengden har [tex]2^n[/tex] elementer, så da må den første også ha det - fordi vi har funnet en bijeksjon.
Ett veldig enkelt eksempel er om du har lyst å telle antall delmengder av en mengde [tex]X[/tex]. Om [tex]|X[/tex] har [tex]n[/tex] elementer, så vil vi finne antall delmengder, nemlig [tex]|\mathcal{P}(X)|[/tex], nemlig størrelsen på potensmengden til [tex]X[/tex].
Én måte å gjøre dette på er å identifisere en delmengde av [tex]X[/tex] med en n-lengde sekvens av nullere og enere. Så f.eks 000000 svarer til den tomme delmengden, 000001 svarer til å kun ta med første elementet, og så videre. Dette gir en bijeksjon mellom delmengder av [tex]X[/tex] og binære tall mellom [tex]0[/tex] og [tex]2^n-1[/tex]. Den siste mengden har [tex]2^n[/tex] elementer, så da må den første også ha det - fordi vi har funnet en bijeksjon.
Cube - mathematical prethoughts | @MatematikkFakta
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Ja, det kan se ut som jeg misforsto. Tenkte ikke på at det var noe som het dette idet jeg skrev innlegget.FredrikM skrev:Det virker som om plutarco har misforståt spørsmålet litt. Du tenker på dette, http://en.wikipedia.org/wiki/Bijective_proof, som en teknikk for å telle størrelsen på mengder?