matematikk.net

At at s og t er jo rasjonale tall som ikke begge er 0. Vis at $s\sqrt{2}+t\sqrt{3}$ er irrasjonal.

Om tallet er rasjonalt, kan det skrives som $\frac{m}{n}$. Dvs. $n^2(2s^2+2st\sqrt{6}+3t^2) = m^2$. Har tidligere bevist at om x er rasjonal og y er irrasjonal, så er $x+y$ og $xy$ irrasjonale. Ved å bruke disse gjentatte ganger ser vi at vi har en selvmotsigelse, og følgelig er tallet irrasjonalt.

Ka du tru?

Beviset ditt er riktig dersom både s og t er ulik 0, men du bør kanskje ha med tilfellene $s=0$, $t\neq 0$ og $t=0$, $s\neq 0$ også.

Essensen i beviset er uansett å bruke at $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$ og $\sqrt{6}$ alle er irrasjonale tall.


Alternativt bevis:

La $s=0$ og $t\neq 0$, og anta at $t\sqrt{3}=\frac{n}{m}$ er rasjonalt. Da følger det at $\sqrt{3}=\frac{n}{tm}$, som er rasjonalt. Altså en motsigelse.

La $t=0$ og $s\neq 0$, og anta at $s\sqrt{2}=\frac{n}{m}$ er rasjonalt. Da følger det at $\sqrt{2}=\frac{n}{sm}$, som er rasjonalt. Altså en motsigelse.

La $s\neq 0$ og $t\neq 0$. Anta at $s\sqrt{2}+t\sqrt{3}=\frac{n}{m}$. Det følger at $\sqrt{6}=\frac{n^2-2s^2m^2-3t^2m^2}{2stm^2}$, som er rasjonalt. Altså en motsigelse.

Jeg er fornøyd bare beviset funker, det er første skritt.

Tilfellene der én av s eller t er null følger også automatisk fra det jeg har bevist tidligere; "om x er rasjonal og y er irrasjonal, så er x+y og xy irrasjonale" og "kvadratroten av alle heltall som ikke er kvadrattall er irrasjonale".

Takk for hjelpen!