Rasjonal logaritme

[Determined]

Skal formulere og bevise et kriterium for når $log_a{b}$ er rasjonal (a og b er hele tall).

Jeg mener det bare skjer hvis og bare hvis den største av a og b er et multiplum av den andre. Det kan vi se ved hjelp av at hvis logaritmen er rasjonal, så kan vi skrive $a^\frac{m}{n} = b$ der $m,n \in \mathbb{N}$. Omformulert til $a^m = b^n$. Så dette føler av aritmetikkens fundamentalteorem.

Hva tror dere, holde dette? Ser at det sikkert kan formuleres bedre, da...

[wingeer]

Det holder vel ikke bare at en av de er et multiplum av den andre. Som du sier utifra aritmetikkens fundamentalteorem ser man at de må ha eksakt de samme faktorene opp til potenser.

[Determined]

Hm, ja, du har visst helt rett. Vi må kunne skrive $a=b^x$ eller $a^x=b$ for en eller annen $x \in \mathbb{N}$.

Men nå er vel beviset holdbart?

[Gustav]

Skriv $a=\prod_{i=1}^k p_i^{r_i}$ og $b=\prod_{i=1}^l q_i^{s_i}$, for primtall $p_i,q_i$. Sammenlign primfaktorene og eksponentene til $a^m$ og $b^n$.

Du kan uten tap av generalitet anta at $k=l$ og at $p_1<p_2<...<p_k$ og $q_1<q_2<...<q_k$ for distinkte primtall.

[Determined]

Hm, ja. For hvert primtall fra a må potensen den er opphøyd i multiplisert med m være lik det vi får om vi multipliserer det det tilsvarende primtallet fra b er opphøyd med n.

[Gustav]

Når jeg tenker meg om er det kanskje nok å si at uttrykket er rasjonalt hvis og bare hvis det eksisterer naturlige tall n,m slik at $a^n=b^m$

[Determined]

Er ikke det bare en følge av definisjonen av rasjonaliteten?

[Gustav]

Er ikke det bare en følge av definisjonen av rasjonaliteten?

Jo, jeg må innrømme at jeg syns det er litt uklart hva oppgaven vil frem til.

[Determined]

Nei en skal jo finne generelle a og b slik at $\log_a{b}$ er rasjonal. Jeg forklarte ikke godt hva som ble etterspurt, ser det nå. Og det er vel bevis godt nok om man peker på aritmetikkens fundamentalteorem slik som ovenfor?

[wingeer]

La $a,b \in \mathbb{Z}$, da kan man ved aritmetikkens fundamentalteorem skrive $a=p_1^{n_1} \cdot p_2^{n_2} \cdots p_k^{n_k}$ og $a=q_1^{m_1} \cdot q_2^{m_2} \cdots q_l^{m_l}$. Da kan man si at at $\log_a b$ er et rasjonalt tall hvis og bare hvis $k=l$, for alle $i \leq k$ gjelder $p_i = q_i$ og dersom det finnes et heltall $c$ slik at $n_i = c m_i$ for alle $i$ (hvis $n>m$, tilsvarende for det andre tilfellet)