Ulikheter

[Aleks855]

Jeg er flaut lite erfaren med ulikheter og bevisføring. Prøver meg på følgende oppgave, og er ute etter tilbakemeldinger!

Vis at ulikheten $a^2+b^2 \geq 2ab$ for alle $a,b \in \mathbb R$.

Vis også at likheten holder kun for $a = b$.

Min formulering:

Ulikheten er ekvivalent med $a^2+b^2-2ab \geq 0$

Ved andre kvadratsetning: $(a-b)^2 \geq 0$

Denne ulikheten holder fordi $x^2\geq 0$ for alle $x\in\mathbb R$

Likheten:

$(a-b)^2 = 0 \Rightarrow a-b = 0 \Rightarrow a = b$

Q.E.D.

Er det noe jeg burde formulere bedre her?

[Gustav]

Ser bra ut!

[Aleks855]

Flott!

Hvordan er forresten konvensjonen på formulering av siste setning? Altså, hvis en ulikhet holder fordi et teorem A er kjent, avslutter vi da med at "Ulikheten holder ifølge teorem A"? Eller blir det feil å si?

[Nebuchadnezzar]

Tja ordlyden varierer jo fra person til person, jeg foretrekker å skrive noe allà: Hvor siste ulikhet følger fra theorem A.

Rent pedagogisk, og også personlig er det uglesett å ta utgangspunkt i det en skal bevise. Det er derfor fordelaktig å gjøre slik du har gjort, også skrive stegene "baklengs" i beviset ditt.

Bevis:
For alle reelle tall $a,b$ så holder følgende ulikhet

$ \displaystyle \hspace{1cm}
(a-b)^2 \geq 0\,,
$

med likhet hvis og bare hvis $a=b$.
Ved å bruke andre kvadratsetning, er dette ekvivalent med

$ \displaystyle \hspace{1cm}
a^2 - 2ab + b^2 \geq 0\,.
$

Beviset fullføres nå ved å legge til $2ab$ på begge sider av ulikheten.

Bevis på norsk fullføres gjerne med, "som var det som skulle vises" eller "som ønsker" eller om en mer kortfatter bare $\square$

[Aleks855]

Tja, jeg ser at det virker litt mer rigorøst, men samtidig litt uintuitivt, for da må man jo allerede ha sett veien frem til målet, før man har skrevet det.

Det er jo greit hvis du allerede har ført beviset den ene veien, og dermed bare skriver det om den andre veien, men er ikke det bare å sløse tid?

[Nebuchadnezzar]

Fordelen er at du kommer frem til et resultat uten å vite resultatet på forhånd.
Du må ikke jobbe deg bakover, og på oppgaven ovenfor hadde nok jeg tatt utgangspunkt i $(a-b)^2$ direkte.

Det å ta utgangspunkt i noe kjent også utlede noe ukjent er i hvertfall for meg en mer logisk måte å fremstille på. Fremmfor å "trekke" et resultat ut av hatten også komme frem til noe vi vet stemmer.

Det finnes mange andre former for å føre bevis, kontrapositive bevis, og bevis ved induksjon tar begge utgangspunkt i sluttresultatet. Det hele koker ned til hva som er klarest, renest og til en viss grad penest.

How to prove it - er en god innføring i bevisføring og anbefales.