matematikk.net

Sitter med et induksjonsbevis, og føler jeg er i mål, men samtidig at det var en veldig omstendig vei dit. Kan noen se over, og komme med innspill? Er notasjonen grei? Jeg gjorde noen kjappe hopp, blant annet der jeg skriver at $$k(k^2+5) + p(k) \equiv p(k) \pmod 6$$ (grunnet den induktive hypotesen) midt i en serie av likheter. Ville det vært godkjent?

PS: Jeg tar det nesten for gitt at noen sitter på en eller flere langt mer elegante løsninger. La det komme

Det ser riktig ut, men er litt tungvint og mange steg, som du sier, ellers litt vanskelig å følge stegene, hadde kanskje vært bedre om du hadde skrevet mer om hva du gjorde innimellom.

Jeg ville gjort det noe slikt, fra der du har at [tex]P_{k+1}=(k+1)[k^2+2k+6][/tex]:

Da har du:

[tex]P_{k+1}=6(k+1)+(k+1)(k^2+2k)[/tex]

Første delen er klart delelig med 6, så ser på det andre leddet:

[tex](k+1)(k^2+2k)=k\cdot(k+1)\cdot(k+2)[/tex]

Dette er tre påfølgende heltall, så da må et av de være delelig på 2 og et på 3, da må produktet være delelig på 6. Ulempen her er vell at du egentlig ikke bruker induksjonshypotesen, som er at [tex]P_k[/tex] er delelig på 6, og dette beviset er akkurat det samme som å se at:

[tex]n(n^2+5)=n(n^2-1+6)=6n+n(n^2-1)=6n+(n-1)n(n+1)[/tex] og samme argument gjelder.

Så om du absolut skal bruke induksjonshypotesen er din vei mer i tråd med det, da kan du også se at:

[tex]k^2+k+2=k(k+1)+2=2m[/tex]

når du sjekker delelighet med 2, siden k eller (k+1) er partall.

Utmerket! Gode poeng. Jeg overså fullstendig at produktet k(k+1)(k+2) nødvendigvis er delelig med 6.

I hvor stor grad kan man ta slike ting for gitt i slike bevis? Holder det å bare si at det er slik? Og hvor går grensa?

Er nok ingen klare svar på de spørsmålene, så må nok bruke sunn fornuft.

Mine tanker er at på innleveringer bør du forklare mer enn på prøver, for har du et vanskelig argument der, kan det hende du bare har kopiert det fra internett. Ellers tenker jeg litt at om noe er opplagt for deg, er det kanskje et hint på at det bør være lett forståelig, og du trenger kanskje ikke å skrive så mye, ser du det ikke med engang, er det ikke sikkert sensor heller ser det med en gang, og du bør kanskje skrive en forklaring.
'
Når det gjelder dette eksempelet vill jeg nok skrevet et argument vertfall, men det vil holde å si noe slikt som:

Siden n, n+1 og n+2 er tre etterfølgende heltall, og i tre etterfølgende heltall må et være delelig med 3, og et med 2, må produktet være delelig med 6.

Å skrive slike begrunnelser kan alltids være greit.