Bevis, ulikhet

Mange finner bevis vanskelig. Her er rom for spørsmål vedrørende bevis, og for å dele dine bevis med andre. Vi tenker først og fremst videregående nivå, men det er ingen begrensninger her.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
Aleks855
Rasch
Rasch
Innlegg: 6855
Registrert: 19/03-2011 15:19
Sted: Trondheim
Kontakt:

Gidder noen å se om dette beviset er bra skrevet? Har prøvd å passe på det med å starte med noe elementært, og jobbe fremover mot det som ønskes bevist, i stedet for å gå den andre veien. Tror det var Nebu som nevnte dette i en annen tråd for litt siden.

Trenger jeg å nevne at kvadratrot-funksjonen er lovlig? Og i så fall, hvordan burde det formuleres? Tenker da på at dersom $a>b$ så vil også $\sqrt a > \sqrt b$, i alle fall for de verdiene som er aktuelle her, men kommer ikke på navnet på denne egenskapen i farta.
Vedlegg
1.2.9b.png
1.2.9b.png (83.49 kiB) Vist 4088 ganger
Bilde
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

Beviset ser helt fint ut.

Det du bruker er at $f(x)=\sqrt{x}$ er voksende på $[0,\infty)$. Slike ting vises typisk med derivasjon (når funksjonen er deriverbar): $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\geq 0$ på $(0,\infty)$.

Da følger det at for $x\leq y$, er $f(x)\leq f(y)$.


(Merk at det siste intervallet er åpent, siden derivasjon er definert på åpne mengder. Kontinuitet sikrer for øvrig at f(x) er voksende på det halvåpne intervallet $[0,\infty)$, men det er en liten detalj i denne sammenhengen).
Nebuchadnezzar
Fibonacci
Fibonacci
Innlegg: 5648
Registrert: 24/05-2009 14:16
Sted: NTNU

Ser riktig ut det her, ville nok ført det tilsvarende som deg. Som du sier bør du nevne på slutten at
$t \leq 1$ siden du ikke kan ta roten av et negativt tall [sic]. Kombinert med antakelsen om at $t\geq 1$
fører dette til at $t \in [0,1]$. Regner med du bare skrev feil type parenteser i starten, eller burde ha brukt $>$ tegnet
mer konsekvent.

For at $a \leq b$ skal medføre at $\sqrt{a} \leq \sqrt{b}$ holder det å bruke at $f(x) = \sqrt{x}$
er voksende (konkav) for $x \geq 0$. Siden den deriverte alltid er større enn null (såfremt $x\neq 0$)

Ellers finnes det og andre måter å vise det på. Du kan for eksempel legge merke til at uttrykkene er like
for $t=1$ og $t=0$ (og at det ikke finnes flere skjæringspunkt på intervallet) I tillegg er funksjonene kontinuerlige, og
deriverbare på intervallet. Deretter trenger du bare å se på den deriverte at den ene funksjonen vokser hurtigere
enn den andre, og fra det følger utsagnet.

Kanskje den groveste frekkisen en kan dra er at uttrykket følger direkte fra taylorrekka til $\sqrt{1-x}$.
Taylorekka her vil alltid være større enn funksjonen (hvorfor?) untatt for $t=0$ slik at

$\sqrt{1-t} \leq 1 - \frac{t^2}{2} - \frac{x^2}{8} + \cdots + (-1)^n x^n \binom{1/2}{n} $

For alle $n \in \mathbb{N}$, med likhet viss og bare hvis $t=0$.
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
Svar