matematikk.net

Forbereder meg til muntlig eksamen ved å gå gjennom bevis for at [tex][ \mathrm{sin}(x)]'= \mathrm{cos}(x)[/tex]. Et langt bevis, men alt bortsett fra én ting er greit. Et sted i beviset må jeg vise at [tex]\lim_{x\rightarrow 0} \frac{ \mathrm{cos} (x)-1}{x}=0[/tex]. Slik dette gjøres i lærerboken min, multipliseres teller og nevner med den konjugerte til telleren, skriver om og bruker at "grensen av et produkt er produktet av grensene". Vi får da:

$ \lim_{x\rightarrow 0} ( \frac{ \mathrm{sin} (x)}{x} \cdot \frac{- \mathrm{sin}(x) }{ \mathrm{cos}(x) +1} )=1 \cdot 0 = 0$

En får altså bruk for at $ \lim_{x\rightarrow 0} \frac{ \mathrm{sin} (x)}{x}=1$. Det står ikke nærmere forklart hvorfor denne grenseverdien er lik 1. Jeg har prøvd å google og Wolframalphafisere hvorfor, men i alle tilfeller tas L'Hospitals regel i bruk. Det er to problemer med dette. For det første kan jeg ikke regelen, for det andre ser ut som at når jeg bruker L'Hospitals regel på grenseverdien, må jeg allerede vite at [tex][ \mathrm{sin}(x)]'= \mathrm{cos}(x)[/tex]. Men det vet jeg jo ikke før jeg har bevist det!

Så; hvordan kan jeg ellers vise at $ \lim_{x\rightarrow 0} \frac{ \mathrm{sin} (x)}{x}=1$? Eller skal jeg bare ikke bry meg om dette ettersom den andre grenseverdien i produktet blir null?

EDIT; fikset feil

Nvm. Har jo vist grenseverdien tidligere. Glemte bare at $ \lim_{x\rightarrow 0} \frac{ \mathrm{sin} (x)}{x}= \lim_{x\rightarrow 0} \frac{ x}{ \mathrm{sin} (x)}=1$

Det holder nok at den ene faktoren går mot 0, så lenge den andre faktoren ikke går mot uendelig.

Du kan, om du virkelig vil, bruke sandwich-teoremet til å vise grenseverdien, i stedet for L'Hopital. Den kan også observeres dersom du skisserer grafen til (sinx)/x og argumenterer for at den er kontinuerlig rundt x=0, selv om den ikke er det akkurat i punktet.

Enda enklere: $x\to0 \Rightarrow \sin(x) \to 0$. Dette betyr at både teller og nevner går mot 0, og det gir jo 1. Ignorer at 0/0 ikke er definert, fordi vi ser ikke på når x=0 uansett. Bare $x\to0$

Veldig mulig jeg overser unntakstilfeller her, men hvis du tegner opp en enhetssirkel med en vinkel i første eller fjerde kvadrant (de som er nærmest 0 grader), og lager en bitteliten vinkel, så vil du se at sin(x) og x blir tilnærmet like store. Og enda "likere" blir de, jo nærmere vinkelen kommer 0.

Litt vifting med hånda her, men det er det letteste jeg kommer på. Likevel, metoden med skviseteoremet vil være rigorøst nok, men det er litt for langt til at jeg orker å skrive det. Men dette er kanskje det mest brukte eksemplet, så du finner det sikkert hvis det trengs.

EDIT: I wrote a lot, therefore I posted. Selv om du fant løsninga selv

Aleks855 skrev: EDIT: I wrote a lot, therefore I posted. Selv om du fant løsninga selv

Hehe, ja. Takk for svar anyway Inser imidlertid at til en evt. presentasjon vil dette beviset være utelukket, da det fort tar 10 min (absolutt maks grense på presentasjonen er 10 min). Forøvrig synes jeg beviset er grisete og stygt. Håper nesten det finnes et alternativt bevis jeg kan lære senere, for å tegen en sirkelsektor og betrakte arealene til tre ulike figurer er en del "kjedelig" jobb.

Ofte i matematikken ønsker en å vise ting med så få antakelser som mulig. På en måte kan vi si vi ønsker
å vise ting så enkelt som mulig. Det er derfor ønskelig å vise identiteten uten bruk av taylorrekker, l'hôpital
eller annen kalkulus. Det er derfor det geometriske beviset vektlegges

http://math.stackexchange.com/questions ... c-sin-xx-1

https://proofwiki.org/wiki/Limit_of_Sin ... tric_Proof

Selv syntes jeg dette beviset er langt penere enn å bare huske at $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots + \frac{x^{2n}}{(2n+1)} + \cdots $ =)
Ved å dele på $x$ får en $1$ når en lar $x\to 0$.

http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_series

Dessverre kan en ikke bare derivere teller og bunn med l'hôptial! Dette ville gjort regningen svært, svært enkel

$ \hspace{1cm}
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sin x)'}{(x)'} = \lim_{x \to 0} {\cos x}{1} = \cos 0 = 1
$

Så hva er problemet? Vi fikk jo rett svar med minimal innsats. Problemet ligger i at denne argumentasjonen er sirkulær.
I regningen ovenfor antok vi at den deriverte av $\sin x$ var $\cos x$. Ønsker vi å bestemme den deriverte av $\sin x$ bruker
vi definisjonen av den deriverte, og da ender en opp med $(\sin x) / x$, som du og kom frem til. Vi kan altså ikke bruke den deriverte
til å vise grenseverdien, fordi vi bruker grenseverdien til å bestemme den deriverte.

Her her beviset for den deriverte av $\sin x$ vist

http://i.stack.imgur.com/Ra8Qy.png