Har en tre-delt oppgave om induksjonsbevis.
a-oppgaven ber en om å vise at $\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{1\cdot2\cdot3\cdots n}\leq 2^n$ for alle naturlige $n$. Denne har jeg gjort.
b-oppgaven ber en om å vise at $\sqrt{1-t} \leq 1-\frac t2$ for t på (0,1). Denne har jeg gjort.
c-oppgaven ber en om å bruke resultatet fra b) til å vise at $\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots2n}\geq\frac1{2\sqrt n}$ men her står jeg helst fast.
Any tips?
Mer induksjon
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
- Fibonacci
- Innlegg: 5648
- Registrert: 24/05-2009 14:16
- Sted: NTNU
Venstresiden av ulikheten din kan skrives som
$\hspace{1cm}
\prod_{k=1}^n \frac{2k-1}{2k} = \prod_{k=1}^n \left( 1 - \frac{1/k}{2}\right)
$
Deretter kan du bruke ulikheten din på produktet
$\hspace{1cm}
\prod_{k=1}^n \left( 1 - \frac{1/k}{2}\right)
= \left( 1 - \frac{1}{2}\right) \prod_{k=2}^n \left( 1 - \frac{1/k}{2}\right)
\geq \frac{1}{2} \prod_{k=2}^n \sqrt{1-\frac{1}{k}}
$
Slik at vi unngår at høyresiden blir null. (Prøv å bruk identiten direkte på produktet for å se hva jeg mener)
Ideen er nå at vi bruker at
$ \hspace{1cm}
\prod_{k=1}^n k =\prod_{k=2}^n k = n!
$
Dersom du ikke vil ha spoilers, IKKE les resten av innlegget mitt.
Det siste produktet er faktisk identisk lik $1/\sqrt{n}$. La oss droppe kvadratroten inntil videre, da den ikke er
vesentlig (Vi kunne like gjerne ha flyttet produktet under rottegnet, men i latex ser dette bare rotete ut)
$ \hspace{1cm}
\begin{align*}
\prod_{k=2}^n 1-\frac{1}{k}
& = \prod_{k=2}^n \frac{k-1}{k} \\
& = \frac{2-1}{2} \cdot \frac{3-1}{3} \cdot \frac{4-1}{4} \cdots \frac{n-1}{n} \\
& = \frac{1 \cdot 2 \cdots n-1}{1 \cdot 2 \cdots n-1 \cdots n} \\
& = \frac{1}{n}
\end{align*}
$
Alternativt kan vi skrive det mer kompakt som
$ \hspace{1cm}
\prod_{k=2}^n \sqrt{1-\frac{1}{k}}
= \sqrt{ \prod_{k=2}^n \frac{k-1}{k} }
= \sqrt{ \frac{(n-1)!}{n!} }
= \frac{1}{\sqrt{n}}
$
Hvor det ble brukt at $n! = n(n-1)!$.
EDIT: La på litt detaljer siden jeg så du allerede hadde fått svar av Daniel. Elsker svarene hans
gir meg akkuratt nok hint til å fortsette uten å ødelegge moroa. En av de personene jeg kan takke
konkret for B'en jeg fikk i kompleks analyse. Trenger du mer vage hint enn hva jeg skrev ovenfor er det bare å si ifra =)
$\hspace{1cm}
\prod_{k=1}^n \frac{2k-1}{2k} = \prod_{k=1}^n \left( 1 - \frac{1/k}{2}\right)
$
Deretter kan du bruke ulikheten din på produktet
$\hspace{1cm}
\prod_{k=1}^n \left( 1 - \frac{1/k}{2}\right)
= \left( 1 - \frac{1}{2}\right) \prod_{k=2}^n \left( 1 - \frac{1/k}{2}\right)
\geq \frac{1}{2} \prod_{k=2}^n \sqrt{1-\frac{1}{k}}
$
Slik at vi unngår at høyresiden blir null. (Prøv å bruk identiten direkte på produktet for å se hva jeg mener)
Ideen er nå at vi bruker at
$ \hspace{1cm}
\prod_{k=1}^n k =\prod_{k=2}^n k = n!
$
Dersom du ikke vil ha spoilers, IKKE les resten av innlegget mitt.
Det siste produktet er faktisk identisk lik $1/\sqrt{n}$. La oss droppe kvadratroten inntil videre, da den ikke er
vesentlig (Vi kunne like gjerne ha flyttet produktet under rottegnet, men i latex ser dette bare rotete ut)
$ \hspace{1cm}
\begin{align*}
\prod_{k=2}^n 1-\frac{1}{k}
& = \prod_{k=2}^n \frac{k-1}{k} \\
& = \frac{2-1}{2} \cdot \frac{3-1}{3} \cdot \frac{4-1}{4} \cdots \frac{n-1}{n} \\
& = \frac{1 \cdot 2 \cdots n-1}{1 \cdot 2 \cdots n-1 \cdots n} \\
& = \frac{1}{n}
\end{align*}
$
Alternativt kan vi skrive det mer kompakt som
$ \hspace{1cm}
\prod_{k=2}^n \sqrt{1-\frac{1}{k}}
= \sqrt{ \prod_{k=2}^n \frac{k-1}{k} }
= \sqrt{ \frac{(n-1)!}{n!} }
= \frac{1}{\sqrt{n}}
$
Hvor det ble brukt at $n! = n(n-1)!$.
EDIT: La på litt detaljer siden jeg så du allerede hadde fått svar av Daniel. Elsker svarene hans
gir meg akkuratt nok hint til å fortsette uten å ødelegge moroa. En av de personene jeg kan takke
konkret for B'en jeg fikk i kompleks analyse. Trenger du mer vage hint enn hva jeg skrev ovenfor er det bare å si ifra =)
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk