Vise at $|x| = \sqrt{x^2}$ på $\mathbb R$

Mange finner bevis vanskelig. Her er rom for spørsmål vedrørende bevis, og for å dele dine bevis med andre. Vi tenker først og fremst videregående nivå, men det er ingen begrensninger her.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
Aleks855
Rasch
Rasch
Innlegg: 6855
Registrert: 19/03-2011 15:19
Sted: Trondheim
Kontakt:

Ønsker å vise tittel-påstanden.

Bruker at $x^2 \geq 0 \ \forall \ x \in \mathbb R$ og at kvadratrotfunksjonen per definisjon alltid er positiv for positive argument.

Da vil $\sqrt{x^2} \geq 0 \ \forall \ x\in\mathbb R \ \ \ (1)$

Brukere videre at $\sqrt{x^2} = x^{2\cdot\frac12} = x$ som ved $(1)$ kan utvides til $\sqrt{x^2} = |x|$

Holder dette?
Bilde
Gjest

Er ikke sikker på om jeg henger helt med på siste del av siste setning i beviset. Som du nevner er $\sqrt x$ definert som det positive tallet hvis kvadrat er $x$. Følgelig er
\[
\sqrt{x^2} = \begin{cases}
x,& x \ge 0 \\
-x,& x< 0,
\end{cases}
\]
som er nettopp definisjonen av absoluttverdifunksjonen.
Aleks855
Rasch
Rasch
Innlegg: 6855
Registrert: 19/03-2011 15:19
Sted: Trondheim
Kontakt:

Hadde det ikke da holdt å bare bruke positiviteten av sqrt-funksjonen til å skrive at $\sqrt{x^2} = |x^{\frac12 \cdot 2}| = |x|$?
Bilde
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

Aleks855 skrev:Ønsker å vise tittel-påstanden.

Bruker at $x^2 \geq 0 \ \forall \ x \in \mathbb R$ og at kvadratrotfunksjonen per definisjon alltid er positiv for positive argument.

Da vil $\sqrt{x^2} \geq 0 \ \forall \ x\in\mathbb R \ \ \ (1)$

Brukere videre at $\sqrt{x^2} = x^{2\cdot\frac12} = x$ som ved $(1)$ kan utvides til $\sqrt{x^2} = |x|$

Holder dette?
Del opp i tre tilfeller:

1. X=0 gir at 0=0 som er riktig.

2. X> 0: da er påstanden at x=sqrt(x^2), som også per definisjon av kvadratroten er riktig.

3. Fyll inn selv
Svar