Ønsker å vise tittel-påstanden.
Bruker at $x^2 \geq 0 \ \forall \ x \in \mathbb R$ og at kvadratrotfunksjonen per definisjon alltid er positiv for positive argument.
Da vil $\sqrt{x^2} \geq 0 \ \forall \ x\in\mathbb R \ \ \ (1)$
Brukere videre at $\sqrt{x^2} = x^{2\cdot\frac12} = x$ som ved $(1)$ kan utvides til $\sqrt{x^2} = |x|$
Holder dette?
Vise at $|x| = \sqrt{x^2}$ på $\mathbb R$
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Er ikke sikker på om jeg henger helt med på siste del av siste setning i beviset. Som du nevner er $\sqrt x$ definert som det positive tallet hvis kvadrat er $x$. Følgelig er
\[
\sqrt{x^2} = \begin{cases}
x,& x \ge 0 \\
-x,& x< 0,
\end{cases}
\]
som er nettopp definisjonen av absoluttverdifunksjonen.
\[
\sqrt{x^2} = \begin{cases}
x,& x \ge 0 \\
-x,& x< 0,
\end{cases}
\]
som er nettopp definisjonen av absoluttverdifunksjonen.
Del opp i tre tilfeller:Aleks855 skrev:Ønsker å vise tittel-påstanden.
Bruker at $x^2 \geq 0 \ \forall \ x \in \mathbb R$ og at kvadratrotfunksjonen per definisjon alltid er positiv for positive argument.
Da vil $\sqrt{x^2} \geq 0 \ \forall \ x\in\mathbb R \ \ \ (1)$
Brukere videre at $\sqrt{x^2} = x^{2\cdot\frac12} = x$ som ved $(1)$ kan utvides til $\sqrt{x^2} = |x|$
Holder dette?
1. X=0 gir at 0=0 som er riktig.
2. X> 0: da er påstanden at x=sqrt(x^2), som også per definisjon av kvadratroten er riktig.
3. Fyll inn selv