Bevise derivasjon med induksjon

Mange finner bevis vanskelig. Her er rom for spørsmål vedrørende bevis, og for å dele dine bevis med andre. Vi tenker først og fremst videregående nivå, men det er ingen begrensninger her.

Bevise derivasjon med induksjon

Innlegg hallapaadeg » 19/02-2015 21:30

Hei. Jeg har begynt med induksjonsbevis, og har en oppgave her som jeg tror er ganske enkel. Jeg tror jeg har løst den, men jeg trenger hjelp til å se om jeg gjør riktig, da dere er mine eneste mattevenner.

Oppgaven lyder som følger:

"Bruk produktregelen for derivasjon og induksjonsprinsippet til å bevise at for alle naturlige tall n er:

[tex](x^{n})´ = n * x^{n-1}[/tex]

Jeg setter inn [tex]n = 1 =>[/tex]

[tex](x^{1})´ = 1*x^{1-1} = 1*x^{0} = 1[/tex]

og at

[tex]1*x^{1-1} = 1*x^{0} = 1[/tex]

Formlene stemmer for n = 1. Da antar jeg de også stemmer for:

[tex]n = k => (x^{k})´ = k * x^{k-1}[/tex]

Da vil det også stemme for [tex]n = k+1[/tex] fordi:

[tex](x^{k+1})´ = (k+1) * x^{((k+1)-1)} <=> (x^{k+1})´ = (k+1) * x^{k}[/tex]

men [tex](x^{k+1})´[/tex] er det samme som [tex](x*x^{k})´[/tex] (Dette var litt uvant for meg, men regner med det er lov å si det sånn?)

Videre fører det til at

[tex](x*x^{k})´ = x´ * x^{k} + x* (x^{k})´ = 1* x^{k} + k * x * x^{k-1}[/tex], men [tex]x * x^{k-1} = x^{k}[/tex]

Da står man igjen med [tex]x^{k} + k * x^{k} = x^{k}(k+1)[/tex], som var det jeg ville bevise. (?)

(Litt usikker på konklusjonen der)
hallapaadeg offline
Ramanujan
Ramanujan
Innlegg: 297
Registrert: 24/04-2014 13:33
Bosted: Cyberspace

Re: Bevise derivasjon med induksjon

Innlegg Gustav » 19/02-2015 23:24

Siste halvdel av beviset ditt er skrevet ned i feil rekkefølge.

Skriv heller som følger:

Anta at formelen stemmer for n=k, så vi har at $(x^k)'=kx^{k-1}$.

Nå er $(x^{k+1})'=(x\cdot x^k)'=x'\cdot x^k+x\cdot(x^k)'=x^k+x\cdot kx^{k-1}=(k+1)x^k$.

Altså stemmer formelen for n=k+1.
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4283
Registrert: 12/12-2008 12:44

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 3 gjester