Hei. Jeg har begynt med induksjonsbevis, og har en oppgave her som jeg tror er ganske enkel. Jeg tror jeg har løst den, men jeg trenger hjelp til å se om jeg gjør riktig, da dere er mine eneste mattevenner.
Oppgaven lyder som følger:
"Bruk produktregelen for derivasjon og induksjonsprinsippet til å bevise at for alle naturlige tall n er:
[tex](x^{n})´ = n * x^{n-1}[/tex]
Jeg setter inn [tex]n = 1 =>[/tex]
[tex](x^{1})´ = 1*x^{1-1} = 1*x^{0} = 1[/tex]
og at
[tex]1*x^{1-1} = 1*x^{0} = 1[/tex]
Formlene stemmer for n = 1. Da antar jeg de også stemmer for:
[tex]n = k => (x^{k})´ = k * x^{k-1}[/tex]
Da vil det også stemme for [tex]n = k+1[/tex] fordi:
[tex](x^{k+1})´ = (k+1) * x^{((k+1)-1)} <=> (x^{k+1})´ = (k+1) * x^{k}[/tex]
men [tex](x^{k+1})´[/tex] er det samme som [tex](x*x^{k})´[/tex] (Dette var litt uvant for meg, men regner med det er lov å si det sånn?)
Videre fører det til at
[tex](x*x^{k})´ = x´ * x^{k} + x* (x^{k})´ = 1* x^{k} + k * x * x^{k-1}[/tex], men [tex]x * x^{k-1} = x^{k}[/tex]
Da står man igjen med [tex]x^{k} + k * x^{k} = x^{k}(k+1)[/tex], som var det jeg ville bevise. (?)
(Litt usikker på konklusjonen der)
Bevise derivasjon med induksjon
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Siste halvdel av beviset ditt er skrevet ned i feil rekkefølge.
Skriv heller som følger:
Anta at formelen stemmer for n=k, så vi har at $(x^k)'=kx^{k-1}$.
Nå er $(x^{k+1})'=(x\cdot x^k)'=x'\cdot x^k+x\cdot(x^k)'=x^k+x\cdot kx^{k-1}=(k+1)x^k$.
Altså stemmer formelen for n=k+1.
Skriv heller som følger:
Anta at formelen stemmer for n=k, så vi har at $(x^k)'=kx^{k-1}$.
Nå er $(x^{k+1})'=(x\cdot x^k)'=x'\cdot x^k+x\cdot(x^k)'=x^k+x\cdot kx^{k-1}=(k+1)x^k$.
Altså stemmer formelen for n=k+1.