Sannsynlighet

Mange finner bevis vanskelig. Her er rom for spørsmål vedrørende bevis, og for å dele dine bevis med andre. Vi tenker først og fremst videregående nivå, men det er ingen begrensninger her.

Sannsynlighet

Innlegg stensrud » 27/05-2015 16:44

Sannsynlighet er ikke min sterkeste side, og da jeg arbeider uten fasit kan det være greit med en kontroll en gang i blant. Kan noen være så snille å ta en titt på denne løsningen og gi tommel opp/ned?

En mynt er forandret på slik at sannsynligheten for å få kron nå er $p$, slik at $ 0<p<1$. To personer, $A$ og $B$, kaster mynten helt til en av sekvensene $KKK$ eller $KMK$ oppstår. $A$ vinner hvis sekvensen $KKK$ oppstår først, mens $B$ vinner hvis sekvensen $KMK$ oppstår først. For hvilken verdi av $p$ har $A$ og $B$ lik sannsynlighet for å vinne?


La sannsynligheten for at $A$ vinner spillet være $\alpha$, og sannsynligheten for at $B$ vinner spillet $\beta$. Hvis første kast er $M$, hjelper dette ingen av spillerne, så sannsynlighetene for at de to vinner forblir uendret ("spillet startes på nytt"). Det samme skjer hvis sekvensen $MM$ oppstår midt i spillet, da startes spillet også på nytt. Tre som viser de første mulige utfallene:
tre.png
tre.png (226.09 KiB) Vist 2435 ganger


$A$ kan vinne ved $1,3,5,6$, med sannsynlighetene:

$1: p^3$
$3: p^2\cdot (1-p)^2\cdot \alpha$
$5: p\cdot (1-p)^2\cdot \alpha$
$6: (1-p)\cdot\alpha$

Dette gir likningen $\alpha=p^3+p^2\cdot (1-p)^2\cdot \alpha+p\cdot (1-p)^2\cdot \alpha+(1-p)\cdot\alpha\implies\alpha=\frac{p^3}{(1-(1-p)-p(1-p)^2-p^2(1-p)^2)}$.


$B$ kan vinne ved $2,3,4,5,6$, med sannsynlighetene:

$2: p^3(1-p)$
$3: p^2(1-p)^2\beta$
$4: p^2(1-p)$
$5: p(1-p)^2\beta$
$6: (1-p)\beta$

Dette gir likningen $\beta=p^3(1-p)+p^2(1-p)^2\beta+p^2(1-p)+p(1-p)^2\beta+(1-p)\beta\implies\beta=\frac{p^2(1-p)+p^3(1-p)}{(1-(1-p)-p(1-p)^2-p^2(1-p)^2)}$.

Siden $\alpha=\beta$ så er

$\frac{p^3}{(1-(1-p)-p(1-p)^2-p^2(1-p)^2)}=\frac{p^2(1-p)+p^3(1-p)}{(1-(1-p)-p(1-p)^2-p^2(1-p)^2)}$

$p^3=p^2(1-p)+p^3(1-p)$

$p=1-p+p-p^2\Leftrightarrow p^2+p-1=0$

Med eneste positive løsning $p=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\approx 0,618$
stensrud offline
Descartes
Descartes
Innlegg: 438
Registrert: 08/11-2014 21:13
Bosted: Cambridge

Re: Sannsynlighet

Innlegg Tom André Tveit » 27/05-2015 20:49

Hei stensrud,

Her er en annen litt enklere måte å finne svaret på - men jeg kan legge til før jeg begynner at løsningen blir den samme som du har funnet. Derfor tommel opp.

Når vi ser på tegningen din, så kan vi se bort ifra alle andre utfall enn KKK, KMK og KKMK. M, KMM, KKMM kan vi altså se bort ifra.

KKK gir seier til A, og KMK og KKMK gir seier til B.

Da får vi siden seier til A og B skal ha samme sannsynlighet følgende ligning:

KKK = KMK + KKMK

Denne kan vi skrive og løse på følgende måte:

p · p · p = p · (1 - p) · p + p · p · (1 - p) · p

som gir

p ^3 = p ^ 2 - p ^3 + p ^3 - p ^4

som gir

p ^3 = p ^2 - p ^4

som kan deles på begge sider med (p ^ 2) som gir

p = 1 - p ^ 2

som gir

p ^ 2 + p - 1 = 0

og dette gir samme løsning som du har fått for den løsningen som er medtallig, nemlig

p = (- 1 + √5) : 2 ≈ 0.618



Med Vennlig Hilsen
Tom André Tveit
http://www.verda.no/

Fagspørsmål kan sendes til:
http://www.verda.no/bokmal/tjenester/fagsporsmal.php
Sist endret av Tom André Tveit den 30/11-2015 23:45, endret 1 gang
Tom André Tveit offline
Cayley
Cayley
Innlegg: 63
Registrert: 25/05-2015 19:48

Re: Sannsynlighet

Innlegg stensrud » 28/05-2015 08:12

Takk for svar og en enklere løsning!
stensrud offline
Descartes
Descartes
Innlegg: 438
Registrert: 08/11-2014 21:13
Bosted: Cambridge

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 1 gjest