La sannsynligheten for at $A$ vinner spillet være $\alpha$, og sannsynligheten for at $B$ vinner spillet $\beta$. Hvis første kast er $M$, hjelper dette ingen av spillerne, så sannsynlighetene for at de to vinner forblir uendret ("spillet startes på nytt"). Det samme skjer hvis sekvensen $MM$ oppstår midt i spillet, da startes spillet også på nytt. Tre som viser de første mulige utfallene: $A$ kan vinne ved $1,3,5,6$, med sannsynlighetene:En mynt er forandret på slik at sannsynligheten for å få kron nå er $p$, slik at $ 0<p<1$. To personer, $A$ og $B$, kaster mynten helt til en av sekvensene $KKK$ eller $KMK$ oppstår. $A$ vinner hvis sekvensen $KKK$ oppstår først, mens $B$ vinner hvis sekvensen $KMK$ oppstår først. For hvilken verdi av $p$ har $A$ og $B$ lik sannsynlighet for å vinne?
$1: p^3$
$3: p^2\cdot (1-p)^2\cdot \alpha$
$5: p\cdot (1-p)^2\cdot \alpha$
$6: (1-p)\cdot\alpha$
Dette gir likningen $\alpha=p^3+p^2\cdot (1-p)^2\cdot \alpha+p\cdot (1-p)^2\cdot \alpha+(1-p)\cdot\alpha\implies\alpha=\frac{p^3}{(1-(1-p)-p(1-p)^2-p^2(1-p)^2)}$.
$B$ kan vinne ved $2,3,4,5,6$, med sannsynlighetene:
$2: p^3(1-p)$
$3: p^2(1-p)^2\beta$
$4: p^2(1-p)$
$5: p(1-p)^2\beta$
$6: (1-p)\beta$
Dette gir likningen $\beta=p^3(1-p)+p^2(1-p)^2\beta+p^2(1-p)+p(1-p)^2\beta+(1-p)\beta\implies\beta=\frac{p^2(1-p)+p^3(1-p)}{(1-(1-p)-p(1-p)^2-p^2(1-p)^2)}$.
Siden $\alpha=\beta$ så er
$\frac{p^3}{(1-(1-p)-p(1-p)^2-p^2(1-p)^2)}=\frac{p^2(1-p)+p^3(1-p)}{(1-(1-p)-p(1-p)^2-p^2(1-p)^2)}$
$p^3=p^2(1-p)+p^3(1-p)$
$p=1-p+p-p^2\Leftrightarrow p^2+p-1=0$
Med eneste positive løsning $p=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\approx 0,618$