matematikk.net

Hei, jeg tenkte å lage en tråd der vi kan samle opp masse bevis som er relevant i R1. Grunnen til dette er at dette er veldig relevant til en evt. muntlig eksamen i R1 faget. Det er alltid greit å kunne utlede et par bevis hvis sensoren spør om det. Dem pleier så regel å bli imponert.


Det er snakk om bevis alt fra:

Derivasjonsregler
Sirkellikning
Geometri - drøssevis cevas setning, periferi og sentralvinkler, - dra inn formlikhet, skjæringssetninger, median, høyder, tyngdepunktet, innsenteret, vinkelhalveringslinjene, pythagroas, osv...
funksjoner - bevis for lnx, den naturlige logartime, eksponentiell vekst. osv...
algebra - polynomdivisijon

Alt mulig!

Jeg kan starte med å ta litt intiativ:

Bare tar noe random da:

Bevis for produktregelen (derivasjon)

Produkregelen sier at:
[tex]p(x)=u(x)*v(x)=u*v[/tex] der u og v er ulike funksjoner.

Vi har at den deriverte av funksjonen [tex]f(x)[/tex] er lik:

[tex]\lim_{h\to\0} f'(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}[/tex]

Vi substituerer for våre funksjoner u og v slik at:
[tex]\lim_{h\to\0} p(x)=\frac{u(x+h)*v(x+h)-u(x)v(x)}{h}[/tex]

Nå gjør vi noe forholdsvis rart:
Vi adderer nemlig med 0 ved at vi setter det følgende utrykket lik 0 :
[tex]{\color{Blue} {(v(x+h)*u(x))-(v(x+h))*u(x))}}=0[/tex]

Vi setter det inn i vårt opprinnelige utrykk siden [tex]a+0=a[/tex]
[tex]\lim_{h\to\0} p(x)=\frac{u(x+h)*v(x+h)-u(x)v(x)+{\color{Blue} {(v(x+h)*u(x))-(v(x+h))*u(x))}}}{h}[/tex]

Omrokkerer:
[tex]\lim_{h\to\0} p(x)=\frac{{\color{Green} {u(x+h)*v(x+h)-u(x)*v(x+h)}}+{\color{Red} {u(x)*v(x+h)-u(x)*v(x)}}}{h}[/tex]

[tex]\lim_{h\to\0} p(x)=\frac{{\color{Green} {(u(x+h)-u(x))v(x+h)}}+{\color{Red} {u(x)(v(x+h)-v(x))}}}{h}[/tex]

Distribuerer grenseverdiene ettersom: [tex]\lim_{x\to\\a}(f(x)+g(x))=\lim_{x\to\\a}f(x)+\lim_{x\to\\a}g(x)[/tex]

slik at:

[tex]\lim_{h\to\\0}\frac{(u(x+h)-u(x))*v(x+h)}{h}+\lim_{h\to\\0}\frac{(v(x+h)-v(x))*u(x)}{h}[/tex]

Omrokkerer og setter ned konstanter:
[tex]\lim_{h\to\\0}\frac{u(x+h)-u(x)}{h}*\lim_{h\to\\0}\left (v(x+h)*u(x) \right )*\lim_{h\to\\0}\frac{v(x+h)-v(x)}{h}[/tex]

Følgelig ser vi at vi ender opp med:
[tex]=u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)[/tex]

Q.E.D

Noen andre?? Setter pris på dette folkens!

Denne er fin:
https://proofwiki.org/wiki/Main_Page