matematikk.net

Sliter med en oppgave.......

Sikkert enkel for mange men..

La a og b være slik at [tex]\left \{ a,b \right \}\:\in\:\:\mathbb{Q}[/tex] og x være et irrasjonalt tall.
Bevis at [tex]\frac{x+a}{x+b}\:\in\:\mathbb{Q}\:\:[/tex] da er [tex]a=b[/tex]


Vet ikke helt hvordan jeg skal starte.

Kan det ha noe med at dersom utrykket er rasjonalt så finnes det tall som tilfredsstiller [tex]\frac{c}{d}[/tex] hvor heltallene c og d er relativt primiske ? eller

Som du hinter til kan vi anta at det finnes rasjonale tall $a,b$ og $c$ slik at
\[\frac{x+a}{x+b}=c.\]
Merk at vi like gjerne også kunne brukt en brøk hvor teller og nevner er relativt primiske heltall, si $\frac{p}{q}$, istedenfor $c$. Den eneste forskjellen mellom de to alternativene er at det ene skiller mellom heltall og rasjonale tall, mens den andre ikke gjør det. Da oppgaven kun er ute etter å skille mellom irrasjonale og rasjonale tall gidder ikke vi å skille mellom noe mer heller

Du ønsker vise at $c=1$, som er ekvivalent med $a=b$. Klarer du å se hvordan du kan gå fram?

For kompletthetens skyld legger jeg ved et forslag til et fullstendig bevis:

$\mathbf{Bevis}$
Vi antar at $(x+a)/(x+b)=c$ for rasjonale $a,b$ og $c$, og en irrasjonal $x$ (minst én slik løsning finnes, da for eksempel $(a,b,c)=(1,1,1)$ funker for alle $x$). Dette er ekvivalent med
\[x+a=cx+cb\iff x(1-c)=cb-a.\]
Her er høyresiden rasjonal, og da må også venstresiden også være det siden vi har likhet. Men et irrasjonalt tall ganget med et rasjonalt tall er fortsatt irrasjonalt med mindre det rasjonale tallet er $0$, så for at $x(1-c)$ skal være rasjonalt må $1-c=0\iff c=1$, som kun skjer når $a=b$.

Drezky skrev: La a og b være slik at [tex]\left \{ a,b \right \}\:\in\:\:\mathbb{Q}[/tex] og x være et irrasjonalt tall.

Bare en liten kommentar til notasjonen her: Det er ikke helt riktig å skrive [tex]\left \{ a,b \right \}\:\in\:\:\mathbb{Q}[/tex] siden $\{a,b\}$ betyr mengden bestående av elementene $a$ og $b$. Denne mengden er ikke et element i $\mathbb{Q}$. Vi må enten skrive $a,b\in \mathbb{Q}$ (som betyr at begge elementene $a$ og $b$ er med i $\mathbb{Q}$) eller eventuelt (men mindre vanlig) [tex]\left \{ a,b \right \}\:\subset\:\:\mathbb{Q}[/tex] ( eller eventuelt [tex]\left \{ a,b \right \}\:\subseteq \:\:\mathbb{Q}[/tex]).

Det kan virke unødvendig pirkete, men det er faktisk viktig å være oppmerksom på forskjellene over.

stensrud skrev:For kompletthetens skyld legger jeg ved et forslag til et fullstendig bevis:

$\mathbf{Bevis}$
Vi antar at $(x+a)/(x+b)=c$ for rasjonale $a,b$ og $c$, og en irrasjonal $x$ (minst én slik løsning finnes, da for eksempel $(a,b,c)=(1,1,1)$ funker for alle $x$). Dette er ekvivalent med
\[x+a=cx+cb\iff x(1-c)=cb-a.\]
Her er høyresiden rasjonal, og da må også venstresiden også være det siden vi har likhet. Men et irrasjonalt tall ganget med et rasjonalt tall er fortsatt irrasjonalt med mindre det rasjonale tallet er $0$, så for at $x(1-c)$ skal være rasjonalt må $1-c=0\iff c=1$, som kun skjer når $a=b$.

fiffig løsning

plutarco skrev:

Drezky skrev: La a og b være slik at [tex]\left \{ a,b \right \}\:\in\:\:\mathbb{Q}[/tex] og x være et irrasjonalt tall.

Bare en liten kommentar til notasjonen her: Det er ikke helt riktig å skrive [tex]\left \{ a,b \right \}\:\in\:\:\mathbb{Q}[/tex] siden $\{a,b\}$ betyr mengden bestående av elementene $a$ og $b$. Denne mengden er ikke et element i $\mathbb{Q}$. Vi må enten skrive $a,b\in \mathbb{Q}$ (som betyr at begge elementene $a$ og $b$ er med i $\mathbb{Q}$) eller eventuelt (men mindre vanlig) [tex]\left \{ a,b \right \}\:\subset\:\:\mathbb{Q}[/tex] ( eller eventuelt [tex]\left \{ a,b \right \}\:\subseteq \:\:\mathbb{Q}[/tex]).

Det kan virke unødvendig pirkete, men det er faktisk viktig å være oppmerksom på forskjellene over.

takk for at du gir bedskjed!