For tre tall [tex]\left \{ a,b,c \right \} \subseteq\:\:\mathbb{Z}[/tex] har vi at [tex]a+b^2=c^2[/tex]
. Vis at 6 går opp i [tex]abc[/tex]
[tex]\textsl{Løsning}[/tex]
Jeg ser at [tex]a+b^2=c^2[/tex] kan omformes til [tex]a+b^2=c^2\Leftrightarrow a=c^2-b^2=(c+b)(c-b)[/tex]
Videre vet jeg at hvis et tall er delelig med 6 så er det også delelig med [tex]2[/tex] og [tex]3[/tex].
Så produktet [tex]abc[/tex] er delelig med [tex]2[/tex] hvis minst et av tallene er like. Hvis både [tex]b[/tex] og [tex]c[/tex] er ulike vil [tex]b+c[/tex] være like og følgelig vil [tex]a=(c+b)(c-b)[/tex] være like. Således er minst et av tallene [tex]\left \{ a,b,c \right \}[/tex] være delelig med 2.
[tex]abc[/tex] er delelig med 3 hvis minst et av tallene [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] og [tex]c[/tex] er delelig med 3. Jeg antar at verken [tex]\{b,c\}[/tex] er delelig med 3. Så når man dividerer dem med 3 så vil de ha en rest på [tex]1\:\:\vee\:\:\:2[/tex]. Hvis [tex]b[/tex] og [tex]c[/tex] har samme rest ved divisjon vil [tex]c-b[/tex]
være delelig med 3, og hvis de har forskjellig rest ved divisjon med [tex]3[/tex] (tilfellet hvor den ene har rest [tex]1[/tex] og den andre har rest [tex]2[/tex], da er også [tex]b+c=2+1=3[/tex] delelig med 3. Så da vil [tex]a=(c+b)(c-b)[/tex] være delelig med 3 i begge tilfellene våre , og følgelig vil minst et av tallene [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] og [tex]c[/tex]
være delelig med 3, og således er produktet [tex]abc\:\:\:\mid\:\:3[/tex]
Konklusjonen blir at (som vi har vist) at [tex]abc[/tex] er delelig med [tex]2[/tex] og [tex]3[/tex] og følgelig delelig med [tex]6[/tex]
Er dette beviset fullført?
