Vektorer / bevis

Mange finner bevis vanskelig. Her er rom for spørsmål vedrørende bevis, og for å dele dine bevis med andre. Vi tenker først og fremst videregående nivå, men det er ingen begrensninger her.

Vektorer / bevis

Innlegg Drezky » 01/09-2016 14:58

Hallais, trenger en liten bekreftelse på om dette stemmer:

I den første oppgaven skal jeg vise at dersom [tex]\vec{u}[/tex] og [tex]\bar{v}[/tex] er to vilkårlige vektorer så vil:
[tex]\left | \vec{u}+\vec{v} \right |\leq \left | \bar{u} \right |+\left | \vec{v} \right |[/tex]


Benytter meg av at [tex]\vec{a}*\vec{a}=\left | \vec{a}|*\left | \vec{a} \right |*\cos(0)^o\Longleftrightarrow \vec{a}^2=\left | \vec{a} \right |^2[/tex]

[tex]\left | \vec{u}+\vec{v} \right |\leq \left | \vec{u} \right |+\left | \vec{v} \right |\Leftrightarrow \left | \vec{u}+\vec{v} \right |^2\leq \left \left (| \vec{u} \right |+\left | \vec{v} \right | \right )^2\Leftrightarrow \left ( \sqrt{\vec{u}+\bar{v}} \right )^2\leq \left | \vec{u} \right |^2+\left | \vec{v} \right |^2+2\left | \vec{u} \right |\left | \vec{v} \right |\Leftrightarrow (\vec{u}+\vec{v})^2\leq \vec{u}^2+\vec{v}^2+2\left | \vec{u}*\vec{v} \right |\Leftrightarrow \vec{u}^2+2\vec{u}*\vec{v}+\vec{v}^2\leq \vec{u}^2+\vec{v}^2+2\left | \vec{u} *\vec{v}\right |\Leftrightarrow \vec{u}*\vec{v}\leq \left | \vec{u}*\vec{v} \right |[/tex]

Kan man ta i bruk at:
[tex]\left | \vec{u}*\vec{v} \right |^2=\left |\vec{u} \right |^2+\left | \vec{v} \right |^2+2*\left | \vec{u} \right |*\left | \vec{v} \right |*\cos\alpha[/tex]


?




En annen oppgave:

Ber om å vinne en vinkel: [tex]\alpha, \beta, \gamma[/tex]
mellom en vektor [tex]\vec{v}=\left [ 1,2,5 \right ][/tex] og henholdsvis x-, y- og z-aksen.

Deretter skal jeg regne ut [tex]\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma[/tex]
og jeg får at: [tex]\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1[/tex]

Men så skal jeg bevise at svaret gjelder generelt?

Hvordan skal jeg føre et generisk bevis på dette?

Tenker i slike baner:
[tex]\cos^2\left ( \frac{\vec{v}*\vec{e_x}}{\left | \vec{v} \right |*\left | \vec{e_x} \right |} \right )+\cos^2\left ( \frac{\vec{v}*\vec{e_y}}{\left | \vec{v} \right |*\left | \vec{e_y} \right |} \right )+\cos^2\left ( \frac{\vec{v}*\vec{e_z}}{\left | \vec{v} \right |*\left | \vec{e_z} \right |} \right )=S[/tex]

? Men jeg kan jo ikke bruke at [tex]S=1[/tex], dette er noe jeg skal utlede.

Hvordan skal man forresten geometrisk tolke dette?
[tex]i*i=-1[/tex]



Omnia mirari etiam tritissima - Carl von Linné
( Find wonder in all things, even the most commonplace.)

Det er åpning og lukking av ionekanaler i nerveceller som gjør det mulig for deg å lese dette.
Drezky offline
Hilbert
Hilbert
Brukerens avatar
Innlegg: 1023
Registrert: 06/12-2014 17:43

Re: Vektorer / bevis

Innlegg Gustav » 01/09-2016 15:33

Hint: [tex]\left | \vec{u}+\vec{v} \right |^2=\left |\vec{u} \right |^2+\left | \vec{v} \right |^2+2*\left | \vec{u} \right |*\left | \vec{v} \right |*\cos\alpha\leq (|\vec{u}|+|\vec{v}|)^2[/tex]
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4270
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: Vektorer / bevis

Innlegg Gustav » 01/09-2016 15:43

På den andre:

Bruk enhetsvektorer langs aksene: $\vec{e_x}=(1,0,0)$, $\vec{e_y}=(0,1,0)$ og $\vec{e_z}=(0,0,1)$.

La $\vec{v}=(v_x,v_y,v_z)\neq (0,0,0)$.

$v_x=\vec{v}\cdot (1,0,0)=|\vec{v}|\cos \alpha\Rightarrow \cos^2 \alpha =\frac{v_x^2}{|\vec{v}|^2}$

$v_y=\vec{v}\cdot (0,1,0)=|\vec{v}|\cos \beta\Rightarrow \cos^2 \beta =\frac{v_y^2}{|\vec{v}|^2}$

$v_z=\vec{v}\cdot (0,0,1)=|\vec{v}|\cos \gamma \Rightarrow \cos^2 \gamma =\frac{v_z^2}{|\vec{v}|^2}$

$\cos^2 \alpha+\cos^2 \beta +\cos^2 \gamma = \frac{v_x^2+v_y^2+v_z^2}{|\vec{v}|^2}=\frac{|\vec{v}|^2}{|\vec{v}|^2}=1$
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4270
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: Vektorer / bevis

Innlegg Drezky » 01/09-2016 16:59

plutarco skrev:Hint: [tex]\left | \vec{u}+\vec{v} \right |^2=\left |\vec{u} \right |^2+\left | \vec{v} \right |^2+2*\left | \vec{u} \right |*\left | \vec{v} \right |*\cos\alpha\leq (|\vec{u}|+|\vec{v}|)^2[/tex]



Dette er altså galt?


[tex]\left | \vec{u}+\vec{v} \right |\leq \left | \vec{u} \right |+\left | \vec{v} \right |[/tex]
[tex]\left | \vec{u}+\vec{v} \right |^2\leq \left \left (| \vec{u} \right |+\left | \vec{v} \right | \right )^2[/tex]
[tex]\left ( \sqrt{\vec{u}+\bar{v}} \right )^2\leq \left | \vec{u} \right |^2+\left | \vec{v} \right |^2+2\left | \vec{u} \right |\left | \vec{v} \right |[/tex]
[tex](\vec{u}+\vec{v})^2\leq \vec{u}^2+\vec{v}^2+2\left | \vec{u}*\vec{v} \right |[/tex]
[tex]\vec{u}^2+2\vec{u}*\vec{v}+\vec{v}^2\leq \vec{u}^2+\vec{v}^2+2\left | \vec{u} *\vec{v}\right |[/tex]
[tex]\vec{u}*\vec{v}\leq \left | \vec{u}*\vec{v} \right |[/tex]

Du har selvfølgelig rett at jeg glemmer å ta med cosinus verdien til vinkelen mellom vektorene..






plutarco skrev:På den andre:

Bruk enhetsvektorer langs aksene: $\vec{e_x}=(1,0,0)$, $\vec{e_y}=(0,1,0)$ og $\vec{e_z}=(0,0,1)$.

La $\vec{v}=(v_x,v_y,v_z)\neq (0,0,0)$.

$v_x=\vec{v}\cdot (1,0,0)=|\vec{v}|\cos \alpha\Rightarrow \cos^2 \alpha =\frac{v_x^2}{|\vec{v}|^2}$

$v_y=\vec{v}\cdot (0,1,0)=|\vec{v}|\cos \beta\Rightarrow \cos^2 \beta =\frac{v_y^2}{|\vec{v}|^2}$

$v_z=\vec{v}\cdot (0,0,1)=|\vec{v}|\cos \gamma \Rightarrow \cos^2 \gamma =\frac{v_z^2}{|\vec{v}|^2}$

$\cos^2 \alpha+\cos^2 \beta +\cos^2 \gamma = \frac{v_x^2+v_y^2+v_z^2}{|\vec{v}|^2}=\frac{|\vec{v}|^2}{|\vec{v}|^2}=1$



Takk!
[tex]i*i=-1[/tex]



Omnia mirari etiam tritissima - Carl von Linné
( Find wonder in all things, even the most commonplace.)

Det er åpning og lukking av ionekanaler i nerveceller som gjør det mulig for deg å lese dette.
Drezky offline
Hilbert
Hilbert
Brukerens avatar
Innlegg: 1023
Registrert: 06/12-2014 17:43

Re: Vektorer / bevis

Innlegg Gustav » 01/09-2016 20:30

Drezky skrev:
plutarco skrev:Hint: [tex]\left | \vec{u}+\vec{v} \right |^2=\left |\vec{u} \right |^2+\left | \vec{v} \right |^2+2*\left | \vec{u} \right |*\left | \vec{v} \right |*\cos\alpha\leq (|\vec{u}|+|\vec{v}|)^2[/tex]



Dette er altså galt?


[tex]\left | \vec{u}+\vec{v} \right |\leq \left | \vec{u} \right |+\left | \vec{v} \right |[/tex]
[tex]\left | \vec{u}+\vec{v} \right |^2\leq \left \left (| \vec{u} \right |+\left | \vec{v} \right | \right )^2[/tex]
[tex]\left ( \sqrt{\vec{u}+\bar{v}} \right )^2\leq \left | \vec{u} \right |^2+\left | \vec{v} \right |^2+2\left | \vec{u} \right |\left | \vec{v} \right |[/tex]
[tex](\vec{u}+\vec{v})^2\leq \vec{u}^2+\vec{v}^2+2\left | \vec{u}*\vec{v} \right |[/tex]
[tex]\vec{u}^2+2\vec{u}*\vec{v}+\vec{v}^2\leq \vec{u}^2+\vec{v}^2+2\left | \vec{u} *\vec{v}\right |[/tex]
[tex]\vec{u}*\vec{v}\leq \left | \vec{u}*\vec{v} \right |[/tex]

Du har selvfølgelig rett at jeg glemmer å ta med cosinus verdien til vinkelen mellom vektorene..


Ser ikke helt rett ut dette. I linje nr. 3 har du kvadrert høyresida, mens du har omskrevet venstresida. Det er heller ikke riktig at $|\vec{u}||\vec{v}|=|\vec{u}\cdot \vec{v}|$, som du selv påpeker. I tillegg er det problematisk med implikasjonene her. Du starter med det du skal vise, og så utleder noe. Generelt sett skal man være forsiktig med å skrive bevis på denne måten, med mindre man er svært nøye med at implikasjonene går begge veier mellom hvert steg.

Det er ryddigere å starte med noe vi vet er sant, og så utlede det vi skal vise. Start med at

[tex]\left | \vec{u}+\vec{v} \right |^2=(\vec{u}+\vec{v})\cdot (\vec{u}+\vec{v}) =\left |\vec{u} \right |^2+\left | \vec{v} \right |^2+2*\left | \vec{u} \right |*\left | \vec{v} \right |*\cos\alpha[/tex]. Nå vet vi i tillegg at $\cos x\leq 1$ for alle x. Dermed følger det at

$\left |\vec{u} \right |^2+\left | \vec{v} \right |^2+2*\left | \vec{u} \right |*\left | \vec{v} \right |*\cos\alpha\leq \left |\vec{u} \right |^2+\left | \vec{v} \right |^2+2*\left | \vec{u} \right |*\left | \vec{v} \right |$.

Nå er $\left |\vec{u} \right |^2+\left | \vec{v} \right |^2+2*\left | \vec{u} \right |*\left | \vec{v} \right | = (|\vec{u}|+|\vec{v}|)^2$. Resten overlater jeg til deg.
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4270
Registrert: 12/12-2008 12:44

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 1 gjest