Vektorer / bevis
Lagt inn: 01/09-2016 15:58
Hallais, trenger en liten bekreftelse på om dette stemmer:
I den første oppgaven skal jeg vise at dersom [tex]\vec{u}[/tex] og [tex]\bar{v}[/tex] er to vilkårlige vektorer så vil:
[tex]\left | \vec{u}+\vec{v} \right |\leq \left | \bar{u} \right |+\left | \vec{v} \right |[/tex]
Benytter meg av at [tex]\vec{a}*\vec{a}=\left | \vec{a}|*\left | \vec{a} \right |*\cos(0)^o\Longleftrightarrow \vec{a}^2=\left | \vec{a} \right |^2[/tex]
[tex]\left | \vec{u}+\vec{v} \right |\leq \left | \vec{u} \right |+\left | \vec{v} \right |\Leftrightarrow \left | \vec{u}+\vec{v} \right |^2\leq \left \left (| \vec{u} \right |+\left | \vec{v} \right | \right )^2\Leftrightarrow \left ( \sqrt{\vec{u}+\bar{v}} \right )^2\leq \left | \vec{u} \right |^2+\left | \vec{v} \right |^2+2\left | \vec{u} \right |\left | \vec{v} \right |\Leftrightarrow (\vec{u}+\vec{v})^2\leq \vec{u}^2+\vec{v}^2+2\left | \vec{u}*\vec{v} \right |\Leftrightarrow \vec{u}^2+2\vec{u}*\vec{v}+\vec{v}^2\leq \vec{u}^2+\vec{v}^2+2\left | \vec{u} *\vec{v}\right |\Leftrightarrow \vec{u}*\vec{v}\leq \left | \vec{u}*\vec{v} \right |[/tex]
Kan man ta i bruk at:
[tex]\left | \vec{u}*\vec{v} \right |^2=\left |\vec{u} \right |^2+\left | \vec{v} \right |^2+2*\left | \vec{u} \right |*\left | \vec{v} \right |*\cos\alpha[/tex]
?
En annen oppgave:
Ber om å vinne en vinkel: [tex]\alpha, \beta, \gamma[/tex]
mellom en vektor [tex]\vec{v}=\left [ 1,2,5 \right ][/tex] og henholdsvis x-, y- og z-aksen.
Deretter skal jeg regne ut [tex]\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma[/tex]
og jeg får at: [tex]\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1[/tex]
Men så skal jeg bevise at svaret gjelder generelt?
Hvordan skal jeg føre et generisk bevis på dette?
Tenker i slike baner:
[tex]\cos^2\left ( \frac{\vec{v}*\vec{e_x}}{\left | \vec{v} \right |*\left | \vec{e_x} \right |} \right )+\cos^2\left ( \frac{\vec{v}*\vec{e_y}}{\left | \vec{v} \right |*\left | \vec{e_y} \right |} \right )+\cos^2\left ( \frac{\vec{v}*\vec{e_z}}{\left | \vec{v} \right |*\left | \vec{e_z} \right |} \right )=S[/tex]
? Men jeg kan jo ikke bruke at [tex]S=1[/tex], dette er noe jeg skal utlede.
Hvordan skal man forresten geometrisk tolke dette?
I den første oppgaven skal jeg vise at dersom [tex]\vec{u}[/tex] og [tex]\bar{v}[/tex] er to vilkårlige vektorer så vil:
[tex]\left | \vec{u}+\vec{v} \right |\leq \left | \bar{u} \right |+\left | \vec{v} \right |[/tex]
Benytter meg av at [tex]\vec{a}*\vec{a}=\left | \vec{a}|*\left | \vec{a} \right |*\cos(0)^o\Longleftrightarrow \vec{a}^2=\left | \vec{a} \right |^2[/tex]
[tex]\left | \vec{u}+\vec{v} \right |\leq \left | \vec{u} \right |+\left | \vec{v} \right |\Leftrightarrow \left | \vec{u}+\vec{v} \right |^2\leq \left \left (| \vec{u} \right |+\left | \vec{v} \right | \right )^2\Leftrightarrow \left ( \sqrt{\vec{u}+\bar{v}} \right )^2\leq \left | \vec{u} \right |^2+\left | \vec{v} \right |^2+2\left | \vec{u} \right |\left | \vec{v} \right |\Leftrightarrow (\vec{u}+\vec{v})^2\leq \vec{u}^2+\vec{v}^2+2\left | \vec{u}*\vec{v} \right |\Leftrightarrow \vec{u}^2+2\vec{u}*\vec{v}+\vec{v}^2\leq \vec{u}^2+\vec{v}^2+2\left | \vec{u} *\vec{v}\right |\Leftrightarrow \vec{u}*\vec{v}\leq \left | \vec{u}*\vec{v} \right |[/tex]
Kan man ta i bruk at:
[tex]\left | \vec{u}*\vec{v} \right |^2=\left |\vec{u} \right |^2+\left | \vec{v} \right |^2+2*\left | \vec{u} \right |*\left | \vec{v} \right |*\cos\alpha[/tex]
?
En annen oppgave:
Ber om å vinne en vinkel: [tex]\alpha, \beta, \gamma[/tex]
mellom en vektor [tex]\vec{v}=\left [ 1,2,5 \right ][/tex] og henholdsvis x-, y- og z-aksen.
Deretter skal jeg regne ut [tex]\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma[/tex]
og jeg får at: [tex]\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1[/tex]
Men så skal jeg bevise at svaret gjelder generelt?
Hvordan skal jeg føre et generisk bevis på dette?
Tenker i slike baner:
[tex]\cos^2\left ( \frac{\vec{v}*\vec{e_x}}{\left | \vec{v} \right |*\left | \vec{e_x} \right |} \right )+\cos^2\left ( \frac{\vec{v}*\vec{e_y}}{\left | \vec{v} \right |*\left | \vec{e_y} \right |} \right )+\cos^2\left ( \frac{\vec{v}*\vec{e_z}}{\left | \vec{v} \right |*\left | \vec{e_z} \right |} \right )=S[/tex]
? Men jeg kan jo ikke bruke at [tex]S=1[/tex], dette er noe jeg skal utlede.
Hvordan skal man forresten geometrisk tolke dette?