Bevis på at komplekse tall skrives på eksponentialform

[Markus]

Hei!

Jeg er veldig interessert i fysikk, og fant nylig en side kalt How to become a GOOD theoretical physics av nobelprisvinner Gerard 't Hooft. Målet med siden er å gi en veiledende læresti til alt det man måtte lære for å bli en god teoretisk fysiker, noe jeg gjerne kunne tenkt meg å bli i framtida.

Første del av lærestien innebærer såkalt primary mathematics. En egen bolk her er komplekse tall. Etter å ha lest meg litt opp og sett noen videoer har jeg en grei forståelse av disse. Jeg forstår hvordan vi kan gå fra den kartesiske formen [tex]z = a + ib[/tex] til den polare formen [tex]z = \rho(cos \theta + i*sin \theta)[/tex].

Det jeg derimot sliter med å forstå er hva grunnlaget er for at vi kan skrive de komplekse tallene på eksponential form; [tex]e^{i \theta}=cos(\theta)+i*sin(\theta)[/tex]. Hva er beviset på at dette er mulig?

Jeg skal ha R2 til høsten, men kan allikevel basics av trigonometriske funksjoner og integrasjon, hvis det skulle være til nytte for å forstå et eventuelt bevis.

Tusen takk på forhånd.

[MatIsa offline]

Det enkleste beviset (til min kjennskap) bruker Taylorrekker, som man ikke lærer om før på universitetet. Taylorrekker er derimot ikke så vanskelige å forstå. Tanken er at en vilkårlig funksjon $f$ kan skrives som potensrekke, altså $f(x) = \sum_{n = 0}^\infty a_n x^n$. Det er visse tekniske krav for at dette skal gå an, men de hopper jeg over. De relevante Taylorrekkene her (om $x = 0$) er
$$e^x = \sum_{n = 0}^\infty \dfrac{x^n}{n!} = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!}+\cdots$$ $$\sin{x} = \sum_{n = 0}^\infty \dfrac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \dfrac{x^7}{7!}+\cdots$$ $$\cos{x} = \sum_{n = 0}^\infty\dfrac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} - \dfrac{x^6}{6!}+\cdots$$ Disse uttrykkene gjelder for alle $x$. Dette gir da at $$e^{i\theta} = \sum_{n = 0}^\infty \dfrac{(i\theta)^n}{n!} = \sum_{n = 0}^\infty \dfrac{i^n \theta^n}{n!} = 1 + i\theta - \dfrac{\theta^2}{2!} - i\dfrac{\theta^3}{3!} + \dfrac{\theta^4}{4!} + i\dfrac{\theta^5}{5!} - \dfrac{\theta^6}{6!} - i\dfrac{\theta^7}{7!} +\cdots$$ Her er det brukt $i^0 = 1$, $i^1 = i$, $i^2 = -1$, $i^3 = -i$ osv. Man får altså noen ledd som er reelle, og noen som er imaginære. Man kan dele denne summen inn i to grupper: $$e^{i\theta} = \left(1 - \dfrac{\theta^2}{2!} + \dfrac{\theta^4}{4!} - \dfrac{\theta^6}{6!}+\cdots\right) + i\left(\theta - \dfrac{\theta^3}{3!} + \dfrac{\theta^5}{5!} - \dfrac{\theta^7}{7!}+\cdots\right)$$
Uttrykkene innenfor parentesene er lette å kjenne igjen, det er jo Taylorrekkene til $\cos{\theta}$ og $\sin{\theta}$! Dermed kan man konkludere at $e^{i\theta} = \cos{\theta} + i\sin{\theta}$.

[Markus]

Tusen takk for god oppklaring! Etter at du hadde definert Taylorrekkene var jo ikke beviset noe særlig hokus pokus i det hele tatt. Det å definere Taylorrekken for [tex]sin(x), cos(x)[/tex] og [tex]e^x[/tex] er vel derimot en annen sak. Bør jeg prøve å lese meg litt opp på hvordan man finner en Taylorrekke for en funksjon [tex]f(x)[/tex], eller er dette å ta seg vann over hodet mtp. vanskelighetsgrad. Et ganske kult konsept det med Taylorrekker må jeg si, det kan vel brukes til en god del.

Igjen, tusen takk for et godt svar!

[MatIsa offline]

Om det er vanskelig er nok litt subjektivt, men jeg tror ikke du kommer til å ha noe problem med det, så lenge du sørger for at du forstår det Taylors teorem bygger på. Du kan også lære deg å bruke Taylorrekker uten å forstå det på et dypere nivå, og heller utvikle forståelsen senere. Hvis du er på utkikk etter en god norsk bok som dekker dette, så anbefaler jeg Kalkulus av Tom Lindstrøm: http://www.nb.no/nbsok/nb/27affa053d84949c98ff649f2c728ac3

[Markus]

Jeg har sett på det å utvikle Taylor-polynomer i dag, og jeg hadde egentlig ikke særlig problem med det. Det var veldig intuitivt hvordan man skulle gå fram. Det jeg har gjort er å finne Taylor-rekkene til [tex]sin(x)[/tex], [tex]cos(x)[/tex] og [tex]e^x[/tex], ved å bruke at Taylor-rekken for en gitt funksjon [tex]f[/tex] rundt [tex]x = 0[/tex] er [tex]\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n[/tex]. Når man vet dette var det ikke vanskelig å finne fram til rekkene, særlig de trigonometriske da de bare repeterer seg, samt [tex]e^x[/tex] som er sin egen derivert hele tiden.

Det jeg derimot ikke forstår enda er hvorfor Taylor-rekker "fungerer". Hva som er teorien bak disse osv. For å forstå det på et dypere nivå, bør jeg prøve å sette meg inn i Taylors teorem?

Igjen, takk for et godt svar!

[stensrud offline]

Jeg har sett på det å utvikle Taylor-polynomer i dag, og jeg hadde egentlig ikke særlig problem med det. Det var veldig intuitivt hvordan man skulle gå fram. Det jeg har gjort er å finne Taylor-rekkene til [tex]sin(x)[/tex], [tex]cos(x)[/tex] og [tex]e^x[/tex], ved å bruke at Taylor-rekken for en gitt funksjon [tex]f[/tex] rundt [tex]x = 0[/tex] er [tex]\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n[/tex]. Når man vet dette var det ikke vanskelig å finne fram til rekkene, særlig de trigonometriske da de bare repeterer seg, samt [tex]e^x[/tex] som er sin egen derivert hele tiden.

Det jeg derimot ikke forstår enda er hvorfor Taylor-rekker "fungerer". Hva som er teorien bak disse osv. For å forstå det på et dypere nivå, bør jeg prøve å sette meg inn i Taylors teorem?

Igjen, takk for et godt svar!

En god video som du absolutt burde se er https://www.youtube.com/watch?v=3d6DsjIBzJ4.